Как строго определять тригонометричсекие функции?

[kp9r4d]

ellipse

ellipse в сообщении #1098797 писал(а):

Так надо еще доказать, что такое число существует.

Достаточно заметить, что $\cos$ на интервале $[0..2]$ меняет знак ровно один раз и назвать полученный нуль символом $\frac{\pi}{2}$, а также вывести правило сложения $\cos(a+b)$ чисто из формальных манипуляций с рядами (попутно объясняя, что ряд всюду абсолютно сходится, а потому все манипуляции законны). Из правила сложения и существования минимального положительного нуля у $\cos$ сразу следует периодичность.

ellipse в сообщении #1098797 писал(а):

вообще, определять через ряды - некрасивый и неестественный способ.

Мне кажется нужно разделять задачи, если важно объяснить человеку, что такое синус и косинус - то вообще не нужно такой фигнёй страдать, а сразу апеллировать к его геометрической интуиции. Если важно навести строгость для людей, которые уже всё понимают - нужно выбирать кратчайший и технически простейший путь.

[ellipse]

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):

Достаточно заметить, что $\cos$ на интервале $[0..2]$ меняет знак ровно один раз и назвать полученный нуль символом $\frac{\pi}{2}$

Не соображу, как это заметить? И почему один раз? Если почленно брать производную ряда, поучим ряд косинуса, о котором мы тоже пока ничего не знаем.

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):

а также вывести правило сложения $\cos(a+b)$ чисто из формальных манипуляций с рядами

Мне кажется, это свойство легче получается для формального ряда $e^z$, причем в итоге сразу для $\cos$ и $\sin$.

Может как-то сразу вывести свойство $e^{i2\pi}=1$.

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):

Мне кажется нужно разделять задачи, если важно объяснить человеку, что такое синус и косинус - то вообще не нужно такой фигнёй страдать, а сразу апеллировать к его геометрической интуиции. Если важно навести строгость для людей, которые уже всё понимают - нужно выбирать кратчайший и технически простейший путь.

Мне не нужно никому объяснять. Я просто сам хочу понять природу элементарных функций, и не с точки зрения методики преподавания, а с высоты полета современной математики. Тема случайно вошла в русло методической и была перенесена сюда модератором.

[kp9r4d]

ellipse в сообщении #1098808 писал(а):

Не соображу, как это заметить? И почему один раз? Если почленно брать производную ряда, поучим ряд косинуса, о котором мы тоже пока ничего не знаем.

Ну стандартная техника через всякие там оценки, посмотрите Watson Whittaker "A course of Modern analysis" Appendix A51, например.

ellipse в сообщении #1098808 писал(а):

Мне не нужно никому объяснять. Я просто сам хочу понять природу элементарных функций, и не с точки зрения методики преподавания, а с высоты полета современной математики. Тема случайно вошла в русло методической и была перенесена сюда модератором.

Мне кажется "природа" концепций не в формальных дефинициях, а как раз в интуитивных образах и ассоциациях. А с высоты полёта современной математики синус пятью разными способами определить можно, но через ряды - быстрее и проще всего.

[Robert341]

Математики давно заметили что отношение длины катета к гипотенузе,катета к катету и тд не зависит от самих размеров прямоугольного треугольника но зависит от его углов(двух).Как узнать наример длину катета зная противолежащий ему угол и длину гипотенузы?От сюда все и начинается...

[Aritaborian]

Robert341 в сообщении #1099159 писал(а):

Как узнать наример длину катета

Учить в школе геометрию!

[arseniiv]

Robert341
Вот прямоугольные треугольники, кстати, это как раз довольно неудобно. Получаются тригонометрические функции, определённые всего-то на $[0; \pi/2]$. Не стоило вспоминать о катетах, тут обсуждение на уровне немного повыше.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1099207 писал(а):

Получаются тригонометрические функции, определённые всего-то на $[0; \pi/2]$.

И слава богу -- этого достаточно. Далее всё, и во все времена, и во веки веков -- доопределяется. И аминь.

А то, знаете ли, так можно довольно далеко зайти. Вот, скажем, логарифм: с какой стати он определён лишь на положительных числах-то?... почему не сразу на матрицах?...

arseniiv в сообщении #1099207 писал(а):

тут обсуждение на уровне немного повыше.

Совершенно верно, тут -- исключительно в облаках. К примеру:

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):

Если важно навести строгость для людей, которые уже всё понимают -

-- то этим людям никакой строгости уже не нужно.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1099982 писал(а):

Далее всё, и во все времена, и во веки веков -- доопределяется.

Вот решения функциональных уравнений не доопределяются. И наивное определение с окружностью из школьного учебника тоже доопределения не требует. И вообще для доопределения нужны обоснования, поскольку операция эта неоднозначная.

ewert в сообщении #1099982 писал(а):

А то, знаете ли, так можно довольно далеко зайти. Вот, скажем, логарифм: с какой стати он определён лишь на положительных числах-то?... почему не сразу на матрицах?...

Потому что обычно положительные числа считаются подмножеством действительных или даже комплексных, а перед матрицами уже чаще останавливаются. Например, если матрицы в данном контексте не нужны. Разумеется, обобщать до упора — это так себе задумка, но и совсем этого не делать — аналогичная. И это оффтоп, наверное…

[kp9r4d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1099982 писал(а):

-- то этим людям никакой строгости уже не нужно.

Бывает так, что и нужно. Например, как в этой теме.

[ewert]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1100181 писал(а):

Бывает так, что и нужно.

Да только обычно эта надобность уродством выходит. Сказано ж в Писании:

kp9r4d в сообщении #1098814 писал(а):

Мне кажется "природа" концепций не в формальных дефинициях, а как раз в интуитивных образах и ассоциациях.

[sergei1961]

Нестрогие-нестрогие, они будут всегда чем-то кого-то не устраивать. А строгие- в них всегда будут свои сложности и неудобные места. На круге основное триг. тождество очевидно, а попробуйте его через ряды доказать, вряд ли это так просто.
Мне кажется, достаточно удачная попытка строго введения тригфункций- в учебнике матанализа Шилова. Интересно мнение об этом других...

[Maslov]

sergei1961 в сообщении #1100562 писал(а):

На круге основное триг. тождество очевидно, а попробуйте его через ряды доказать, вряд ли это так просто.

Это просто.
"Э.Ландау. Введении в дифференциальное и интегральное исчисление", стр. 233:

Цитата:

$1 = \cos 0 = \cos (x-x) = \cos x \cos(-x) - \sin x \sin(-x) = \cos ^2 x + \sin^2 x$

Все используемые в этой теореме соотношения доказываются на предыдущих двух страницах.