2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Posted automatically
Сообщение17.01.2016, 02:50 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение17.01.2016, 13:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
svv в сообщении #1091385 писал(а):
Отсюда
$c^{-1}(x_0)=\int\limits_{x_0}^1 \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$
Здесь левая часть понимается как минимальное $t_0\geqslant 0$, такое, что $c(t_0)=x_0$.
Назовём числом $\pi$ такое наименьшее положительное число, что $c(\pi)=-1$. Тогда
$\pi=\int\limits_{-1}^1 \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$
Теперь всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение20.01.2016, 21:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #1091385 писал(а):
Общая формула для длины дуги кривой, заданной параметрически:
$L=\int\limits_a^b \sqrt{(x'(\lambda))^2+(y'(\lambda))^2} \, d\lambda$

Это бессмысленно. Никаких длин дуг (дуг вообще) в школе нет, и не должно быть, и не может быть.

А вот длина дуги конкретно окружности -- вестчь интуитивно довольно очевидная. И очень легко формализуемая безо всяких интегралов.

Ну, конечно, для точной формализации необходимо определение вещественных чисел. Но: 1) тут уж ничего не поделаешь и 2) всё это вполне можно вульгаризовать, не жертвуя при этом содержательным смыслом. И уж что абсолютно -- так что интегралы здесь в точности не при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение22.01.2016, 16:51 


11/03/08
524
Петропавловск, Казахстан
Есть такая книжка Любецкий В. А. Основные понятия элементарной математики. Там в Главе элементарные функции как раз вводятся аккуратно синус и косинус. По-моему, похоже на то, как раньше предлагал svv - через комплексные числа.
Есть еще старое издание этой книжки, только она называлась основные понятия школьной математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение23.01.2016, 14:43 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Забавная книжка. Напоминает «Элементарную математику с точки зрения высшей» Феликса Клейна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение24.01.2016, 01:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
«Элементарной» или «школьной»? Нашёл вторую, но не первую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение02.02.2016, 18:30 


11/03/08
524
Петропавловск, Казахстан
Извиняюсь, что долго не заходил.
arseniiv
"Школьной" - это старое издание. "Элементарной" - новое. Там кое-что переставлено. Лично мне старое больше нравится. Сейчас возьму с полки и напишу.
Новое: В. А. Любецкий Основные понятия элементарной математики, Москва, Айрис пресс, 2004
Старое: В. А. Любецкий основные понятия школьной математики, Москва, "Просвещение", 1987

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение08.02.2016, 23:26 


25/11/08
449
svv в сообщении #1090990 писал(а):
Пусть $f$ отображает $t\in\mathbb R$ в поворот с матрицей
$A(t)=\begin{bmatrix}c(t)&-s(t)\\s(t)&\;\;\;c(t)\end{bmatrix}$, причём $c^2(t)+s^2(t)=1$

Требуем $A(t_1+t_2)=A(t_2)A(t_1)$ (чтобы $f$ было гомоморфизмом), тогда
$c(t_1+t_2)=c(t_1)c(t_2)-s(t_1)s(t_2)$
$s(t_1+t_2)=s(t_1)c(t_2)+c(t_1)s(t_2)$

Отсюда уже следует
$c(0)=1$, $s(0)=0$, $c(-t)=c(t)$, $s(-t)=-s(t)$

-- Пт янв 15, 2016 15:22:06 --

Эти требования не определяют ещё функции однозначно. Из $c^2(t)+s^2(t)=1$ следует $c(t)c'(t)+s(t)s'(t)=0$. Если $t=0$, то $c(t)=1, s(t)=0$, и уравнение позволяет определить $c'(0)=0$, но не $s'(0)$. Поэтому можно потребовать $s'(0)=1$.

Если мы выбрали какой-нибудь «предварительный» гомоморфизм $f$, то условие $s'(0)=1$ фиксирует определённое значение константы $a$, о которой говорил arseniiv, и тем самым «окончательный» гомоморфизм $t\mapsto f(at)$. Я бы сказал, это наилучшее условие для достижения этой цели. Да здравствуют радианы, долой градусы.

И тогда по определению $\frac{\sin x}{x} \to 1$ при $x\to 0$.

Мне кажется, в этом рассуждении есть фатальная прореха. По сути мы в этом рассуждении задали функциональные уравнения так, чтоб они удовлетворяли условию гомоморфизма из $\mathbb{R}$ в группу $SO(2)$.
Если данная система функциональных уравнений разрешима, то гомоморфизм существует. Хотя еще нужно как-то доказать, что гомоморфизм нетривиальный и сюръективный. Но как доказать, что эта система функциональных уравнений вообще разрешима?

Мне такой подход больше всего нравится. Было бы хорошо, если бы его можно было подправить.:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение09.02.2016, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ellipse в сообщении #1098014 писал(а):
Но как доказать, что эта система функциональных уравнений вообще разрешима?
Рассмотрим комплексную функцию действительной переменной $e(t) = c(t) + i s(t)$. Наши уравнения превращаются в $e(t_1 + t_2) = e(t_1) e(t_2)$ и есть стандартное рассуждение, которое позволяет решения этого уравнения определить - задаем $e(1)$ как-нибудь, сразу получаем значения в рациональных точках, и доказываем существование пределов в иррациональных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение09.02.2016, 23:32 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Xaositect в сообщении #1098024 писал(а):
есть стандартное рассуждение

Для него нужна непрерывность (или монотонность, которой у нас нет). Так что хоть круть-верть, хоть верть-круть, а либо мы засовываем первый замечательный предел в определение синуса (а еще лучше - ту пару неравенств, из которых он выводится. Ой, блин, тут начнется геморрой с существованием), либо нужны интегралы (для арксинуса, или для длины окружности, или для площади круга). Ни то ни другое для школы не годится. Вот и выходит, что наименьшее зло - определять его с помощью веревочки (которую наматывают на круг... Тьфу!)
Вообще, когда я этот предел вывожу, честно предупреждаю студентов: "Щас я вас буду обманывать!" Ну, где то один из пятидесяти потом подходит, спрашивает, где обман то? Вот, для одного из пятидесяти (матфак!) мы счас что то и делаем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение10.02.2016, 22:35 


25/11/08
449
Xaositect в сообщении #1098024 писал(а):
Рассмотрим комплексную функцию действительной переменной $e(t) = c(t) + i s(t)$. Наши уравнения превращаются в $e(t_1 + t_2) = e(t_1) e(t_2)$ и есть стандартное рассуждение, которое позволяет решения этого уравнения определить - задаем $e(1)$ как-нибудь, сразу получаем значения в рациональных точках, и доказываем существование пределов в иррациональных.

Какое стандартное рассуждение? В вещественном случае аксиоматическое построение легко получается, но в комплексном возникают проблемы.

Пытаюсь рассуждать следующим образом.

Пусть $f: (\mathbb{R},+) \to S$ - гомоморфизм групп, где $S$ - группа комплексных чисел с модулем $1$ по умножению.

Из определения следуют свойства.

Для любого $x$ верно $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$, откуда $f(0)=1$.

$f(-x)=[f(x)]^{-1}$, поскольку $f(-x)f(x)=f(-x+x)=f(0)=1$.

По индукции доказывается, что $f(nx)=[f(x)]^{n}$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Далее получаем, что $f(mx)=[f(x)]^{m}$ для любого $m \in \mathbb{Z}$;

Но с рациональными числами возникают проблемы.

Хотелось бы получить равенство $f\left( \frac{1}{n} \right) = [f(1)]^{\frac{1}{n}}$.

В вещественном случае оно получается так:

Имеем равенство $f(1) = f\left( n\frac{1}{n} \right) = \left[f\left( \frac{1}{n} \right)\right]^{n}$. Поскольку по определению $f(1)>0$, то однозначном определен корень $[f(1)]^{\frac{1}{n}}>0$. Поэтому $f\left( \frac{1}{n} \right) = [f(1)]^{\frac{1}{n}}$.

Далее можно получить значения $f$ на всех рациональных числах $f\left(\frac{m}{n}\right)=[f(1)]^{\frac{m}{n}}$

Как быть в комплексном случае, когда корень определен неоднозначно? Можно ли как-то ограничить выбор значения корня, чтоб получить однозначность и определенность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение11.02.2016, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ellipse в сообщении #1098518 писал(а):
Как быть в комплексном случае, когда корень определен неоднозначно? Можно ли как-то ограничить выбор значения корня, чтоб получить однозначность и определенность?
Да, Вы правы, я этот момент упустил. Можно определять $\sqrt[2^n] z_0$ по индукции применяя квадратные, беря значение квадратного корня в верхней полуплоскости. Таким образом получим степени с показателем, выражающимся конечной двоичной дробью, но выглядит это уже не так красиво и непрерывность при этом действительно доказывается очень муторно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение11.02.2016, 13:51 


25/11/08
449
BVR в сообщении #1096184 писал(а):
Старое: В. А. Любецкий основные понятия школьной математики, Москва, "Просвещение", 1987
В этой книге при обосновании неинъективности и периодичности гомоморфизма из $(\mathbb{R},+) \to S$ утверждается, что ядро всякого такого гомоморфизма является замкнутой подгруппой в $(\mathbb{R},+)$, что в $(\mathbb{R},+)$ существуют только три вида замкнутых подгрупп: $H=(\mathbb{R},+)$, $H=\{0\}$, $H_a=\{an: n\in \mathbb{Z}\}$, где $a\in
\mathbb{R}$.
Что такое замкнутая подгруппа - группа, в которая операции замкнутое множество переводят в замкнутое? Как это все доказывается?

-- Чт фев 11, 2016 14:03:18 --

Xaositect в сообщении #1098580 писал(а):
Да, Вы правы, я этот момент упустил. Можно определять $\sqrt[2^n] z_0$ по индукции применяя квадратные, беря значение квадратного корня в верхней полуплоскости. Таким образом получим степени с показателем, выражающимся конечной двоичной дробью, но выглядит это уже не так красиво и непрерывность при этом действительно доказывается очень муторно.
По сравнению с тем, что делается у Любецкого, это просто красота:)
Мне кажется, получилось бы доказать и существование такой $f$ и ее непрерывность по аналогии с вещественным случаем, если бы удалось доказать, что таким образом определенный единственный корень обладает свойством $\sqrt[2^n] \xi \to 1$ при $n\to \infty$. Не знаю, как и можно ли это сделать.

Еще есть подозрение, что выбор значения $\sqrt[2] \xi$ может быть более хитрый, чем просто верхняя полуплоскость. Может надо как-то учитывать знаки компонент числа $\xi$, то есть учитывать расположение по четвертям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение12.02.2016, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Мне не очень понятно, чем плох подход, который я предложил с самого начала и который изложен в Зориче и вообще везде, а именно: положить $\sin : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ равным ряду, который и так все знают, затем положить $\pi$ равным наименьшему положительному числу, такому, что $\sin(\pi) = 0$. Такой же подход использован и в metamath proof explorer:

http://us.metamath.org/mpegif/df-sin.html
http://us.metamath.org/mpegif/df-pi.html

насчёт строгости изложения последнего, надеюсь, ни у кого сомнений нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение12.02.2016, 02:31 


25/11/08
449
kp9r4d в сообщении #1098788 писал(а):
затем положить $\pi$ равным наименьшему положительному числу, такому, что $\sin(\pi) = 0$.
Так надо еще доказать, что такое число существует. А также надо доказать периодичность $\cos$. И вообще, определять через ряды - некрасивый и неестественный способ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group