Вопросы на понимание поперечного эффекта Доплера

[IgorT]

Вопросы на понимание поперечного эффекта Доплера.

ИСО $K'$ движется относительно неподвижной ИСО $K$ со скоростью $v$ вдоль оси $x$.
В начальный момент времени начала координат $K$ (точка $A$) и $K'$ (точка $B$) совпадают.
В начальный момент времени в точке $A$ происходит вспышка света с частотой $f_0$.
Через некоторое время $t$ свет достигает приемника в точке $C$, принадлежащей $K'$.



Правильно ли я понимаю, что:

1. Наблюдатель, находящийся в точке $C$, увидит вспышку света в точке $B$?

2. Указанный наблюдатель зафиксирует поперечный эффект Доплера, т.е. он примет световой импульс с частотой $f=f_0\sqrt{1-v^2/c^2}$?

[svv]

1. Это зависит от скорости наблюдателя.
Если наблюдатель неподвижен относительно $K$, ему надо смотреть в направлении точки $A$, чтобы увидеть вспышку.
Если же он неподвижен относительно $K'$, ему надо смотреть в направлении точки $B$.

Дело в том, что, помимо эффекта Доплера, есть ещё тесно связанное с ним явление — аберрация света. Это зависимость направления распространения света от скорости наблюдателя.

2. Это зависит от скорости источника (в какой системе его частота равна $f_0$ ?) и скорости наблюдателя.

Важно понимать, что сами по себе точки на рисунке не «приписаны» ни к какой системе отсчёта. Точке $B$ может соответствовать некоторый физический объект. Но он может иметь любую скорость, и находиться там, где Вы его нарисовали, только в тот момент, который изображен на рисунке. Это может быть деталь движущейся платформы, но может быть и неподвижный столб — без дополнительных оговорок это неизвестно.

IgorT, я не сразу заметил Вашу оговорку «в точке $C$, принадлежащей $K'$». Ответ на оба вопроса — «да», при условии, что источник неподвижен в $K$.

[svv]

Картинка к аберрации света.

Зелёный кружок — наблюдатель, неподвижный в $K$. Он держит в руках длинную узкую трубу (зеленоватая).
Синий кружок — движущийся наблюдатель. Он тоже держит в руках длинную узкую трубу (синеватая). Показаны три его положения вместе с трубой.

Источник света испустил короткий импульс (красная звёздочка). При этом неподвижный наблюдатель видит импульс, глядя в свою трубу (и резонно полагая, что импульс распространялся в направлении вдоль трубы), а подвижный — в свою (не менее резонно считая, ...). Более того, в системе $K'$ скорость движения импульса равна $c$, хотя в $K$ поперечная составляющая скорости импульса меньше $c$.

Вас смущало, можно ли эффект считать поперечным, если в $K$ направление движения импульса не перпендикулярно относительной скорости наблюдателя и источника. Ответ: можно. Важен угол в системе наблюдателя.

[IgorT]

svv, большое спасибо за ответ.

У меня есть еще несколько вопросов, если можно.
Сначала по формулировкам.

svv в сообщении #1099867 писал(а):

Важно понимать, что сами по себе точки на рисунке не «приписаны» ни к какой системе отсчёта.

В стартовом сообщении я написал

IgorT в сообщении #1099789 писал(а):

В начальный момент времени начала координат $K$ (точка $A$) и $K'$ (точка $B$) совпадают.

Я рассуждал так: если указано, что точками $A$ и $B$ обозначены начала координат $K$ и $K'$ соответственно, то эти точки "приписаны" к соответствующим ИСО, и они в них покоятся.
И если сказать

IgorT в сообщении #1099789 писал(а):

В начальный момент времени в точке $A$ происходит вспышка света с частотой $f_0$.

то это - то же самое, что "источник покоится в $K$".
Видимо, это не совсем удачная формулировка?

Теперь по сути.

svv в сообщении #1099867 писал(а):

Ответ на оба вопроса — «да», при условии, что источник неподвижен в $K$.

Таким образом, в $K'$ наблюдается поперечный эффект Доплера.
Если для простоты принять $f_0=1$, $c=1$, $v=0.5$, то можно рассчитать $f=f_0\sqrt{1-v^2/c^2}=\sqrt{0.75}=0.8660254$.
Верно?

svv в сообщении #1099897 писал(а):

Вас смущало, можно ли эффект считать поперечным, если в $K$ направление движения импульса не перпендикулярно относительной скорости наблюдателя и источника.
Ответ: можно. Важен угол в системе наблюдателя.

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?
Использование полной формулы релятивистского эффекта Доплера $f=f_0\frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{v}{c}\cos{\theta}}$, вроде бы, должно дать другой результат...

[kw_artem]

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?
Использование полной формулы релятивистского эффекта Доплера $f=f_0\frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{v}{c}\cos{\theta}}$, вроде бы, должно дать другой результат...

Во-первых, что такое частота $f_0$? Эта частота источника в его собственной системе отсчёта. $K$ как раз и является такой системой отсчёта: источник относительно неё покоится. Поэтому в $K$ независимо от направления Вы везде измерите частоту равную $f_0$. Во-вторых, указанная Вами формула записана в системе отсчёта наблюдателя (детектора), причём угол $\theta$ -- это угол между вектором скорости источника и направлением от детектора к источнику; угол берёт в момент испускания светового импульса. Т.е. зависимость показывает, какие частоты вы измерите в $K'$. И, в-третьих, в этом и состоит эффект Доплера, что в системе покоя источника вы наблюдаете одну частоту, а в движущейся относительно неё системе -- другую (в соответствии с формулой). А ожидать получения одинаковых результатов можно ну разве что, когда либо вообще не будет целиком эффекта Доплера: не двигаясь относительно источника, либо под определённым хитрым углом, своём для каждого значения $v$.

[svv]

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

Видимо, это не совсем удачная формулировка?

Нет, Вы всё хорошо описали (это я сначала умудрился кое-что пропустить). Это я написал на всякий случай, «в назидание» (предполагая, что тему могут просматривать и другие начинающие участники форума), потому мелким шрифтом. Расчёт у Вас правильный.

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?

К пояснениям kw_artem я бы добавил риторический вопрос: если и в $K$ будет наблюдаться ненулевой эффект Доплера, в каком же тогда смысле частота источника равна $f_0$, какой наблюдатель может её наблюдать?

[Munin]

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?

Используйте 4-векторы. С ними все расчёты упрощаются до банальности.

[IgorT]

kw_artem в сообщении #1100078 писал(а):

... указанная Вами формула записана в системе отсчёта наблюдателя...

Да, действительно. Это я не учел.

kw_artem в сообщении #1100078 писал(а):

... в $K$ независимо от направления Вы везде измерите частоту равную $f_0$.

Я, видимо, опять неудачно выразился.
Я не имел в виду ситуацию, когда и источник и приемник покоятся в $K$. Очевидно, что в этом случае эффекта Доплера не будет.
В нашем случае приемник движется в $K$.

Рассуждал я следующим образом:



Поскольку перемещением светового импульса от источника до приемника в $K'$ есть $\overrightarrow{BC}$, то имеет место поперечный эффект Доплера.

Но в $K$ таковым перемещением является $\overrightarrow{AC}$, следовательно, говорить о поперечном эффекте не приходится.
Это корректное рассуждение?

Далее, мне стало интересно, можно ли рассчитать частоту $f$, которую зафиксирует приемник, движущийся в $K$ не переходя в ИСО приемника $K'$.
Это корректная постановка вопроса?

Мне интересно, как это можно сделать в рамках СТО.

Вот в случае опыта со звуком, для рассчета классического эффекта Доплера в аналогичной ситуации, я бы действовал так:

Допустим, что источник звукового импульса покоится в $K$ (точка $A$), приемник покоится в $K'$ (точка $C$), т.е. приемник движется в $K$.
Тогда $f=f_0\frac{c''}{c}$, где $c''=c-v\cos\alpha$ - доплеровская скорость.
Все верно?



При этом, $c''t=DC$.

В данном случае мы выполняем рассчеты в $K$, не переходя в ИСО приемника, верно?

Munin в сообщении #1100130 писал(а):

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?

Используйте 4-векторы. С ними все расчёты упрощаются до банальности.

К сожалению, я пока не владею этим инструментарием.

[kw_artem]

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Я, видимо, опять неудачно выразился.
Я не имел в виду ситуацию, когда и источник и приемник покоятся в $K$. Очевидно, что в этом случае эффекта Доплера не будет.
В нашем случае приемник движется в $K$.

Выразились вы понятно. Я имел в виду, что частоту $f_0$ вы измерите, если будете покоиться в $K$, а $f$ -- если будете двигаться вместе с точкой $C$.

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Допустим, что источник звукового импульса покоится в $K$ (точка $A$), приемник покоится в $K'$ (точка $C$), т.е. приемник движется в $K$.
Тогда $f=f_0\frac{c''}{c}$, где $c''=c-v\cos\alpha$ - доплеровская скорость.
Все верно?

Если расчёты проводятся в системе отсчёта $K$, то не совсем понятно, почему звуковая волна, до точки $D$ распространявшаяся с одной скоростью $c$, после неё начинает перемещаться с другой $c''$.

[svv]

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Но в $K$ таковым перемещением является $\overrightarrow{AC}$, следовательно, говорить о поперечном эффекте не приходится.

Да, только не потому, что угол между $AC$ и $AB$ непрямой, а потому, что в системе $K$ эффект Доплера отсутствует.

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Далее, мне стало интересно, можно ли рассчитать частоту $f$, которую зафиксирует приемник, движущийся в $K$ не переходя в ИСО приемника $K'$.
Это корректная постановка вопроса?

Решая задачи СТО, Вы можете вообще не употреблять выражение «перейдём в такую-то ИСО». Вы имеете право рассуждать, не помещая себя мысленно в определённую систему отсчёта. Но Вы не сможете обойтись без выражений вроде «величина, измеренная устройством, движущимся так-то». СТО как раз и связывает результаты измерений устройств, движущихся с разными скоростями.

Если у Вас получится, анализируя ситуацию в системе $K$ (т.е. опираясь на результаты измерений всевозможных устройств, покоящихся в $K$), сделать вывод о том, какую частоту измерит приёмник, покоящийся в $K'$, — прекрасно. Но будьте осторожны. Под устройствами понимаются в том числе часы и линейки, а движущиеся часы и линейки могут давать другие результаты, нежели неподвижные.

[Munin]

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

К сожалению, я пока не владею этим инструментарием. :-(

К сожалению, вы даже не делаете попыток овладеть. А он очень прост.

Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.
Фейнмановские лекции по физике (ФЛФ). Вып. 2. Пространство, время, движение. Вып. 3. Излучение, волны, кванты.

[IgorT]

svv в сообщении #1100363 писал(а):

Если у Вас получится, анализируя ситуацию в системе $K$ (т.е. опираясь на результаты измерений всевозможных устройств, покоящихся в $K$), сделать вывод...

Если я Вас правильно понял, "провести расчеты в $K$" означает "пользоваться показаниями инструментов, покоящихся в $K$".
А так как, если и источник и приемник покоятся в $K$, то эффекта Доплера не будет, то и рассчитать этот эффект в $K$ невозможно.
Поэтому, эффект Доплера всегда нужно считать в ИСО приемника.
Верно?

kw_artem в сообщении #1100360 писал(а):

Если расчёты проводятся в системе отсчёта $K$, то не совсем понятно, почему звуковая волна, до точки $D$ распространявшаяся с одной скоростью $c$, после неё начинает перемещаться с другой $c''$.

Я писал:

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Допустим, что источник звукового импульса покоится в $K$ (точка $A$), приемник покоится в $K'$ (точка $C$), т.е. приемник движется в $K$.
Тогда $f=f_0\frac{c''}{c}$, где $c''=c-v\cos\alpha$ - доплеровская скорость.
Все верно?



При этом, $c''t=DC$.

В данном случае мы выполняем расчеты в $K$, не переходя в ИСО приемника, верно?

Я имел в виду, что если домножить $c''=c-v\cos\alpha$ на $t$, то получим $DC=AC-AB\cos{\alpha}$.
И поэтому, $DC=c''t$.

Возможно, Вы имеете в виду, что раз в $K$ скорость звука у нас $c$, то доплеровская скорость $c''$ - скорость в какой-то другой ИСО, некой $K''$ ("доплеровской"), отличной от $K$ и $K'$?

И выражение $c''=c-v\cos\alpha$, фактически, переводит нас в эту другую ИСО $K''$?

Что-то вроде этого?



В принципе, это согласуется с тезисом "эффект Доплера всегда нужно считать в ИСО приемника"...
Только ИСО приемника здесь оказывается не $K'$, а $K''$?

Если внимательно посмотреть на рисунок, можно заметить, что эта $K''$ довольно странная...

По теореме Пифагора получается, что $K'$ и $K''$ связаны соотношениями

$$BC=DC\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

$$AB=DB\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

А если записать

$$c''t=c't\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

то получается очень похоже на поперечный эффекта Доплера, который мы обсуждаем

$$f=f_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Скорее всего, это просто совпадение, но интересное...

Большое спасибо svv и kw_artem, вы натолкнули меня на интересные мысли.

Буду думать...

[rustot]

IgorT в сообщении #1100560 писал(а):

Поэтому, эффект Доплера всегда нужно считать в ИСО приемника.

Его можно считать в любой исо и в любой исо он для непосредственно измеримых в одном и том же опыте величин окажется одним и тем же если считать без ошибок. Вы же получением разного результат в разных исо в классической механике (в то время как практический результат замера может быть только одним) просто доказали что утверждение о одинаковости скорости света в разных исо с классической механикой несовместимо, в ней такого просто не может быть

В сто как и в классической механике получаются в двух исо те же ответы:

1. покоящийся приемник принял в этой исо ровно ту частоту, которую излучил в этой исо движущийся источник
2. движущийся приемник в этой исо принял частоту меньшую чем излучил в этой исо неподвижный источник

Но в сто, в отличие от классики, "частота в этой исо" это еще не есть та приборная частота, которую по собственным приборам излучил источник и по собственным приборам измерил приемник. В первом случае для приемника это одно и то же, а вот передатчик движется и "частота в этой исо" составляет $\sqrt{1-v^2/c^2}$ от собственной приборной частоты передатчика, именно такую частоту и зафиксируют приборы приемника. Во втором случае наоборот в этой исо частота совпадает с приборной частотой источника, а вот приборы приемника замедленны и зафиксируют частоту большую, чем он принял в данной исо, и она опять окажется $\sqrt{1-v^2/c^2}$ от приборной частоты источника

[kw_artem]

IgorT в сообщении #1100560 писал(а):

Только ИСО приемника здесь оказывается не $K'$, а $K''$?

IgorT в сообщении #1100560 писал(а):

Возможно, Вы имеете в виду, что раз в $K$ скорость звука у нас $c$, то доплеровская скорость $c''$ - скорость в какой-то другой ИСО, некой $K''$ ("доплеровской"), отличной от $K$ и $K'$?
И выражение $c''=c-v\cos\alpha$, фактически, переводит нас в эту другую ИСО $K''$?

Неверно рассуждаете. Вы взяли первое утверждение (первая цитата) практически из воздуха и не подкрепили никакими соображениями. А стоит немного порассуждать, становится ясным, что ни в одной из систем отсчёта, претендующих на роль $K''$, в которых скорость $c''$ равняется $c-v\cos\alpha$, приёмник не является покоящимся. Примем последнее утверждение. Т.е. есть инерциальная система отсчёта $K''$, которая движется относительно $K$ со скоростью по значению равной $v\cos\alpha$, $\cos\alpha\neq 0$ в направлении единичного вектора $\mathbf{n}$. Скорость же приёмника в свою очередь равна $v\mathbf{e_x}$. Оценим их относительную скорость $\mathbf{v_{отн}}$ или же, что то же самое, скорость относительного движения приёмника в $K''$. Смотрим, $\mathbf{v_{отн}} = v\mathbf{e_x}-v\cos\alpha\mathbf{n}$. При каких значениях параметров у нас будет $\mathbf{v_{отн}} = 0$? Да, ни при каких! По модулю первый член больше второго, значит какое бы ни было взаимное направление векторов $\mathbf{n}$ и $\mathbf{e_x}$, всегда $\mathbf{v_{отн}} \neq \mathbf{0}$. Следовательно, относительно $K''$ приёмник движется.

[oleg_2]

Попытка решения.
Неподвижный источник излучает импульсы света с частотой $f_0$ и периодом $T_0$.
Эти импульсы летят, образуя картину из светлых и темных полос. На рисунках
показаны фронты двух последовательных световых импульсов (фронт света это
граница между светом и тьмой). В момент $t_1$ первый фронт достигает приемника
света, а в момент $t_2$ - второй. Вычислим промежуток времени $\Delta t$ между
этими двумя событиями. Приемник за время $\Delta t$ сместится на расстояние $\Delta x$.

На рисунке видно, что за время $\Delta t$ второму фронту нужно пролететь расстояние
$cT_0 + \Delta x \cdot \cos{\theta}$ со скоростью $c$. Тогда:
$\Delta t = T_0 + \frac{\Delta x \cdot \cos{\theta}}{c}$
Подставим $\Delta x = v\Delta t$
$\Delta t = T_0 + \frac{v\Delta t \cdot \cos{\theta}}{c} = T_0 + \frac{v}{c}\Delta t \cdot \cos{\theta}$
Разделим обе части на $\Delta t$
$1 = \frac{T_0}{\Delta t} + \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}$
Преобразуем это:
$\frac{T_0}{\Delta t} = 1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}$
$\Delta t = \frac{T_0}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}}$
Найдём время между этими двумя событиями по часам приёмника света, и это время
будет периодом принимаемых приёмником импульсов:
$T' = \Delta t' = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
Подставим выражение для $\Delta t$
$T' = \Delta t' = \frac{T_0}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}}\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{T_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}}$

$f' = \frac{f_0(1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta})}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$