Фермионы и бозоны: подробности

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1099082 писал(а):

А причем тут матрица плотности?

Матрица плотности ни при чём. Просто это единственное место в ЛЛ-3, где говорится про запутанные состояния.

-- 13.02.2016 15:45:37 --

WolfAlone в сообщении #1099082 писал(а):

Ну более менее понимаю.

Хорошо. Тогда вопрос со слэтеровскими и неслэтеровскими состояниями в точности изоморфен этому, только пространство состояний антисимметризуется.

WolfAlone в сообщении #1099082 писал(а):

Что не ясно спрошено в первом посте?

О, очень много что. Но вместо того, чтобы спокойно по кусочкам разобраться, вы тут кинулись писать ещё тонны текстов.

[WolfAlone]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1099078 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1099077
писал(а):
Ищу "криминал" по постам с микроскопом. Где?
Вы намерены сраться, или вас вопросы интересуют?

"Неблагодарную" ссылку пожалуйста. Без комментариев. Коротко: строка "зубра X" $\to$ строка моя.

Вопросы уже в разных формах и давно прописаны. Еще раз дублирую пункты выше, предложенные на "нужное подчеркнуть".

Слова про классический спин-релятивизм-статистика не произносить. Ответы всем (и мне) известны. И об этом (то, что известно) тоже писалось. Рассматривается другая модель. Предположим, что сидим в следующем: квантовая электростатика, нерелятивисткая ситуация. Берем любой из прописанных выше симметричных многочастичных гамильтонианов. Решаем формально все до последнего решения. Обнаруживаем массу всякой всячины. Симметричной, антисимметричной и смешанной. Из них та, что антисимметричная может, например, почти ничем не отличается от стандартной спиновой, кроме разве что спектра. Там есть принцип Паули, собственно антисимметрия и всякая нужная полнота состояний. Такой же может оказаться и строго симметричная часть. У нее тоже может быть спектр чуть (или не чуть) другой. Пространство было из 1-мерных функций. Почему симметричную оставляем, а анти - отбрасываем. Потому, что скаляр должен быть бозоном? Спектр быть может также или меньше отличается от физично наблюдаемого (того, про который нельзя говорить ). То есть, различия только в спектре.

Берем теперь другой класс: не 1-компонентные $\psi$ и делаем тоже самое. Теперь отбрасываем наоборот. Идем дальше, расширяя класс пр-ва состояний и по-прежнему (видимо) будем иметь формальные математические решения, удовлетворяющие и и фермионов, и бозонов и "зубров". Пробуем так все варианты. Что и где отбрасывать?

Это краткий пересказ вопросов выше. А теперь в потоке ТС и спрашивал: по каким соображениям происходят отбрасывания. Я предлагал (было в пунктах на подчеркивание) один из вариантов, что

WolfAlone в сообщении #1099060 писал(а):

2. Ищете нужное пр-во сравнивая с экспериментальными спектрами?

Но поскольку здешние "зубры" это дружно игнорируют, то далее, для ответа, этот вариант тоже запретим правилами игры, как ересь (зубры не ошибаются, я не сомневаюсь ). Я упоминал возможную версию по представлениям групп, но она, тоже как проигнорированная должна быть наверно запрещена, как еретическая. Так по каким критериям отсеиваем состояния? Еще раз, чтобы не было путаницы с каноническим спином Паули или Дирака. Не будем называть, ту новую антисимметрию, которую по каким-либо причинам вдруг надо бы оставить, спиновой (фермионами). Придумаем другое название. Но для симметричных что? Оставим, как "легальные, нормальные, хорошие и физичные" бозоны? Якобы мол потому, что нулевого спина бозон должен быть скалярным?

-- 13.02.2016, 15:22 --

Munin в сообщении #1099091 писал(а):

Хорошо. Тогда вопрос со слэтеровскими и неслэтеровскими состояниями в точности изоморфен этому, только пространство состояний антисимметризуется.

Не понимаю связь. Но со слеттеровскими детерминантами уже все утряслось. Вопрос снят.

Munin в сообщении #1099091 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1099082
писал(а):
Что не ясно спрошено в первом посте?
О, очень много что. Но вместо того, чтобы спокойно по кусочкам разобраться, вы тут кинулись писать ещё тонны текстов.

Тоже не ясно. Первые предложения + примеры, по моему вполне достаточно, чтобы специалистам ответить в десятку. НЕРЕЛЯТИВИЗМ там конечно подразумевался. Впрочем, про него далее было сказано почетче, да и отвечающие его совсем не затрагивали.

-- 13.02.2016, 15:33 --

Вот еще дубль в догонку

Alex-Yu в сообщении #1099080 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1099074
писал(а):
Или же есть более жесткие математические или физические (вместе?) соображения на то, как изначально следует строить пространство и оператор.

Довольно трудный вопрос

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Почему симметричную оставляем, а анти - отбрасываем. Потому, что скаляр должен быть бозоном?

Ну, "Потому, что скаляр должен быть бозоном" --- это никакой не ответ на вопрос "почему". Сказать "должен быть бозоном" и сказать "симметричную оставляем" --- это просто одно и то же, сказанное разными словами. Вы хотите чисто логического обоснования? Да еще в рамках нерелятивисткой теории? В рамках чисто нерелятивисткой КМ его не существует. Но если делать иначе, то не сходится с экспериментом. Чисто логически могут быть разные варианты (симметризация или антисимметризация, отсутствие симметризации при одинаковых частицах априори во всяком случае сомнительно). Но не все эти варианты проходят экспериментальную проверку. Да и релятивизм никто все же не отменял.

А вообще неясно, что Вы узнать хотите. Может вообще ничего не хотите, лишь бы поболтать? Ну сколько по кругу ходить можно, вся Вам ясно объяснено. Больше объяснять нечего.

Кстати, на счет теории групп. Никакой ереси тут нет. Да, есть симметрия. Для простоты возьмем всего две частицы. Тогда группа из двух элементов (один --- тождественное преобразование, второй --- перестановка частиц местами). Поскольку это группа симметрии, то состояния должны преобразовываться по неприводимым представлениям, которых всего два (замена знака при перестановке и единичное представление). Так что в отсутствии вырождения (!) состояния симметричны или антисимметричны, "кривых" быть не может.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1099112 писал(а):

А вообще неясно, что Вы узнать хотите. Может вообще ничего не хотите, лишь бы поболтать?

В постах у меня достаточно написано, что мне нужно было.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Вопросы уже в разных формах и давно прописаны.

Если вы считаете, что вот это вот:

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Слова про классический спин-релятивизм-статистика не произносить... Обнаруживаем массу всякой всячины... всякая нужная полнота состояний.

- грамотный способ задавать вопросы, то вы глубоко заблуждаетесь.

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Почему симметричную оставляем, а анти - отбрасываем. Потому, что скаляр должен быть бозоном?

Да, поэтому.

Даже более того: потому что мы знаем, из каких частиц всё сложено. Ну вот знаем, и всё. Из других экспериментов. Чтобы получить другие спектры, нужно использовать другие частицы, которых у физиков-экспериментаторов в распоряжении нет. Именно это и называется "нефизические решения".

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Что и где отбрасывать?

Это написано в ЛЛ-3 гл. 9, даже подробней, чем обычно на практике нужно.

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

этот вариант тоже запретим правилами игры, как ересь

Интересные у вас правила игры: вы требуете ответа, но правильного ответа не слушаете.

Знаете, это называется демагогия, и на любом форуме (в том числе на этом) быстро пресекается. Модератором. Тот, кто слишком уж "устанавливает правила игры", получает бан, и больше не выступает на форуме. Какие бы завиральные идеи у него ни были.

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Но со слеттеровскими детерминантами уже все утряслось. Вопрос снят.

Ок. Снят так снят.

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

по моему вполне достаточно

А по-моему, вы пишете размазню, и либо ждёте от окружающих телепатии, либо просто измываетесь. Либо и то и другое.

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

НЕРЕЛЯТИВИЗМ там конечно подразумевался.

А вы понимаете, что на самом деле природа релятивистская, и всё, что мы имеем - это именно результат релятивистских ограничений на природу? Даже если нерелятивистский формализм позволяет нечто большее, всё равно встретить в жизни нерелятивистский электрон не судьба.

[WolfAlone]

Я задавал вопросы внятно насколько мне позволяло мое понимание и непонимание. Уточнял и даже пытался нащупать возможные направления, куда думать. Профессионал на то и профессионал, что сразу видит, что и где спрашивающий не просекает. Соответственно и отвечает, разъясняет и корректирует рассуждения. А не требует грамотно поставленных вопросов, как вы. Вот в этом месте я, например, не понимаю. Знающий быстро покажет, где, куда, как и почему. Поскольку недопонимание еще оставалось и остается, я пытался нащупать возможные хотя бы направления. В какую сторону думать. Даже на такой тип вопросов почти не нашел вразумительного ответа. Уж не знаю, как еще грамотно спрашиаать. Вы тут как зубры накинулись на новичка, приписываете ему демагогию и завиральные идеи. В моих сообщениях только вопросы, никаких идей. В ответ: "вам талдычат, не хочет понимать, сраться пришел" и т.д. Тут так принято, что-ли? Это считается нормальным? Модераторы? Пока только cos(x-pi/2) старался подробно пояснить. Вопросы, многие из моих, остаются. Нет желания их переписывать по третьему кругу. А считать понятным и вразумительным был ли ответ - это уж только сам спрашивающий будет решать. Модераторы, надеюсь, вполне видят и могут принять меры. Мне мое инженерное образование + самообразование подсказывает, что кое-что из того, что здесь отвечалось, грубо говоря не в строчку, аозможно в расчете на "технического дурачка" и, кажется даже не правильно. Могу ошибаться, но судить трудно. Не специалист. В названии форума стоит слово "разобраться". Не очень пока густо, однако.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1099230 писал(а):

Профессионал на то и профессионал, что сразу видит, что и где спрашивающий не просекает.

Не путайте профессионала в физике, профессионала в преподавании, и вообще телепата.

WolfAlone в сообщении #1099230 писал(а):

Соответственно и отвечает, разъясняет и корректирует рассуждения. А не требует грамотно поставленных вопросов, как вы.

Я хочу донести до вас простую мысль, что поставить вопрос яснее - в ваших же интересах. Эти усилия сами по себе уже приведут к тому, что вы приблизитесь к пониманию. А пока вы в позе капризного ребёнка, требующего кормить его с ложечки, и плачущего без объяснений. То вам не так, это вам не так.

WolfAlone в сообщении #1099230 писал(а):

В моих сообщениях только вопросы, никаких идей.

Увы, нет. Это тоже иллюзия многих новичков: на самом деле, их вопросы основаны на уже каком-то неправильном понимании. Тут надо "всё выкинуть и начать с начала", но они на это не соглашаются.

-- 14.02.2016 14:09:18 --

WolfAlone в сообщении #1099230 писал(а):

Мне мое инженерное образование + самообразование

Между прочим, именно такая комбинация - очень часто источник завышенного самомнения. Знаю по опыту, увы.

WolfAlone в сообщении #1099230 писал(а):

Мне мое инженерное образование + самообразование подсказывает, что кое-что из того, что здесь отвечалось, грубо говоря не в строчку, аозможно в расчете на "технического дурачка" и, кажется даже не правильно.

Как раз наоборот, большинство ответов вам - слишком уж правильные и углублённые. Их труднее понять.

[WolfAlone]

Вам ничто не мешает переспросить или переделать вопрос. Хотя как раз вы по существу ничего здесь и не писали. Только занимались оценками вопрошающего. Толком начал объяснять только cos(x-pi/2). Остальные скатились. Нервы что-ли не в порядке. Твердить мне что-нибудь догматически, да и нахрапом, бесполезно. У меня иммунитет на доводы типа "вам зубры талдычат, я математик профессионал, физик профессионал". Желательно что-нибудь поубедительнее. Вопросы написаны, мест типа "не понятно" тоже достаточно. Так, что глаза откройте и читайте. Можно и всю ветку сначала, чтобы освежить и понять, где и чего мне нужно переобъяснить.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099262 писал(а):

Так, что глаза откройте и читайте.

Я читал. Но так и не понял, чего Вы хотите. Ответа на вопрос почему нужно выкинуть половину решений (не той симметрии)? И по какому правилу выкидывать? Ну дык я Вам объяснил почему и как. А Вы опять то же самое... Извольте изъясняться яснее! Ну или все это -- Ваши проблемы, а я "умываю руки". В конце-концов я в свое время (между прочем, тоже инженерное образование + самообразование) сам над всем этим трудился, без "нянек". И ничего, все получилось.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1099262 писал(а):

Твердить мне что-нибудь догматически, да и нахрапом, бесполезно. У меня иммунитет

Это да, я уже отмечал. Заставить вас подумать самого - невозможно. Иммунитет.

[WolfAlone]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1098986 писал(а):

Недопонимание в том, что Вы пытаетесь здесь делать суждение о типе частиц и их статистике ("фермионы" они или "бозоны") только по виду гамильтониана задачи $H(x,y)$ и по виду некоторых его собственных функций $\Psi(x,y).$

Вот как раз меня мучило, что во всех книжках, когда начинают с объяснения тождественных частиц, твердят про гамильтониан. Что мол он симметричен. Но как я начинаю догадываться, он здесь не причем. Это свойство функции состояния. Наблюдаются только симметричные и антисимметричные, но гамильтониан сам по себе.

WolfAlone в сообщении #1099024 писал(а):

Я, вообще-то, смотрю, что в книжках по этому поводу довольно хреново и плохо написано. Или кто так не считает?

WolfAlone в сообщении #1099024 писал(а):

Либо я остался туп и не въезжаю или он чушь морозит. Кто прокомментирует? Где тут он что переставляет?

До следующих сообщений (не включая)

Alex-Yu в сообщении #1099026 писал(а):

Нет, не разрешаю. По той простой причине, что фраза "все они происходят исключительно от данного вида потенциала взаимодействия" не верна

Alex-Yu в сообщении #1099026 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1099024
писал(а):
Мне это пока не нравится.
Ну мало ли кому что не нравится. Мне вот не нравится, что бифштексы не растут на деревьях

объяснения были совершенно в нормальные. А после началась, кажется, чепуха.

Alex-Yu в сообщении #1099035 писал(а):

А с чего это Вы вдруг взяли, что гамильтониан действует во всем этом пространстве? Во всем $ L^2(R^2)$ ?

Я не пойму, почему гамильтониану запрещено действовать во всем пространстве функций? (в смысле во всюду плотной области его определения). В чем пробел моего образования?

WolfAlone в сообщении #1099074 писал(а):

Или же есть более жесткие математические или физические (вместе?) соображения на то, как изначально следует строить пространство и оператор. Я об этом подробно спрашивал.

WolfAlone в сообщении #1099074 писал(а):

Вопрос куда-то в воздух улетел.

Munin в сообщении #1099157 писал(а):

Интересные у вас правила игры: вы требуете ответа, но правильного ответа не слушаете.
Знаете, это называется демагогия, и на любом форуме (в том числе на этом) быстро пресекается. Модератором. Тот, кто слишком уж "устанавливает правила игры", получает бан

Для чего было написано вот это?

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Рассматривается другая модель. Предположим, что сидим в следующем: квантовая электростатика, нерелятивисткая ситуация

Munin в сообщении #1099253 писал(а):

Как раз наоборот, большинство ответов вам - слишком уж правильные и углублённые. Их труднее понять.

Мой интерес - читать доступные объяснения, а не наблюдать здесь демонстрацию углубленностей. Когда, и если, мне потребуется слишком правильное, я дам знать. Вопросы здесь, пока, про стандартные вещи, не для "углубленного".

-- 14.02.2016, 17:22 --

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

PS. Квантовая статистика Ферми - это статистика c функцией распределения $\varrho(x_1,...,x_N)$, которая приходит от одной "большой" $\Psi$-функции, зависящей от ВСЕХ (много-много) частиц в системе? То есть $\Psi(x_1,x_2, ...,x_N)\to\text{функция распределения } \varrho(x_1,...,x_N)=|\Psi(x_1,x_2, ...,x_N)|^2$? Аналогично, вопрос про бозонную статистику.

-- 14.02.2016, 17:34 --

Еще раз про пост выше. Я так и не понял здесь

Alex-Yu в сообщении #1098817 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1098649
писал(а):
Если в общем, я правильно понимаю, что если взять нечетное число фермионов, например, свободных или несвободных, то получится одно "большое" состояние, которое должно быть антисимметричной волновой функцией?

Асимметричной относительно чего???? Вот если устроете хотябы две такие "композитные", "большие" частицы, то можно будет говорить о симметрии/антисимметрии. А пока "большая" частица одна, само слово неприменимо

Начинаю рассматривать это "большое состояние", представляющее некоторую антисимметричную комбинацию 1-частичных фермионных . Эта "большая" $\Psi(1,2,...)$ и будет давать статистику Ферми-Дирака? Статистику в смысле функции распределения $\varrho$ постом выше? Фермионный газ, например, это он? Число частиц здесь может быть любым? И мало и много? Двух, трех уже достаточно?

[amon]

Давайте попробуем еще раз с самого начала. Что бы понять, имеем ли мы дело с бозоном или фермионом, частиц (одинаковых) должно быть больше одной. Поэтому, когда в учебнике пишут про состоянии электрона в атоме водорода, то фермион там или бозон отличить не возможно. Что бы двигаться дальше, надо понять, что такое "число частиц" и как отличить число частиц от числа степеней свободы.

Проще всего это попытаться понять на примере гармонического осциллятора (для простоты - одномерного). Гамильтониан такого осциллятора $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2+\hat{q}^2}{2}$ (дальше я шляпки над операторами для скорости писать не буду, а частоту, как и массу вместе с постоянной планка, считаю единицей). Этот гамильтониан можно переписать как $H=a^+a+aa^+$, где $a=\frac{q+ip}{\sqrt{2}}$. Теперь можно посмотреть на спектр осциллятора $E=n+\frac{1}{2}$ с другой точки зрения. Есть система с двумя уровнями энергии - 1/2 и 1. Состояние 1/2 - энергия "пустой" системы ("нулевых колебаний вакуума"). Энергия $E=n+\frac{1}{2}$ получается добавлением $n$ частиц на уровень с энергией 1. Оператор числа таких добавленных частиц - $a^+a$. Состояние с $E=n+\frac{1}{2}$ это $\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^+)^n|0\rangle$, а $|0\rangle$ это состояние со свойством $a|0\rangle=0$.

Поскольку на уровень осциллятора с энергией 1 можно посадить любое количество "частиц" (их иногда называют фононами - "звуковыми фотонами"), то обычный гармонический осциллятор - простейший пример бозонного гамильтониана. Возникает вопрос - можно ли придумать "фермионный осциллятор"? Оказывается, можно. Для этого надо устроить так, что бы на уровень 1 можно было бы посадить только одну "частицу", т.е. что бы $a^+|0\rangle$ давало бы новое состояние, а $a^+a^+|0\rangle=0$. Это получится, если коммутационные соотношения для обычного осциллятора: $[a,a^+]=1, [a,a]=[a^+, a^+]=0, [a,b]\equiv ab-ba$ заменить на антикоммутационные $\{a,a^+\}=1, \{a,a\}=\{a^+, a^+\}=0, \{a,b\}\equiv ab+ba$. Итого, мораль: в гамильтониане свойство быть бозоном или фермионом запрятано в коммутационных соотношениях операторов, входящих в гамильтониан (и в этом смысле ни как не связано со спином, связь спина со статистикой - отдельный сюжет). Из коммутационных соотношений операторов, входящих в гамильтониан, следуют ограничения на симметрию волновых функций по отношению к перестановкам. Это довольно длинный сюжет, и сей секунд на это у меня времени нет. Если интересно, то позже.

[WolfAlone]

Конечно интересно. Все интересно, когда понятно. А как быть, если мы возьмем гамильтониан Паули и атом водорода? Там электрон будет со спином, но он один. Но говорить про его фермионность в этом случае нет смысла? Он один, но спиновая степень свободы участвует в механике. Уровни энергии расщепляются.

[amon]

WolfAlone в сообщении #1099392 писал(а):

Но говорить про его фермионность в этом случае нет смысла? Он один, но спиновая степень свободы участвует в механике. Уровни энергии расщепляются.

Про одну частицу нельзя сказать фермион она или бозон. Это свойство связано с неразличимостью частиц, а говорить про неразличимость чего-то одного - это к доктору. Спиновые степени свободы одной частицы могут благополучно взаимодействовать с внешними полями, но прямого отношения к статистике это не имеет. Про волновые функции, боюсь, только завтра получится.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099332 писал(а):

Вот как раз меня мучило, что во всех книжках, когда начинают с объяснения тождественных частиц, твердят про гамильтониан. Что мол он симметричен. Но как я начинаю догадываться, он здесь не причем.

Он "причем". Он ДОЛЖЕН быть симметричным. Но НЕ ВСЕ сводится к симметрии гамильтонана. Понятия "необходимо" и "достаточно", надеюсь, понимаете? Так вот, симметрии гамильтонана НЕДОСТАТОЧНО чтобы определить свойства системы. При несимметричном гамильтониане просто не могло бы быть так, что система частиц описывается только симметричными функциями (или только асимметричными). При симметричном гамильтониане такое быть может. Но ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ не обязательно. Но какое нам дело до того, что может быть чисто логически... Нас интересует только то, что на самом деле. А это подмножество (но не все множество) того, что может быть логически.

-- Пн фев 15, 2016 02:13:47 --

WolfAlone в сообщении #1099332 писал(а):

Я не пойму, почему гамильтониану запрещено действовать во всем пространстве функций? (в смысле во всюду плотной области его определения). В чем пробел моего образования?

Ваш пробел в том, что Вы считаете, что если может быть абстрактная математическая модель, то она обязательно соответсвует устройству природы. А это не так. С точки зрения чистой математики никто не запрещает оператору быть определенным на всем пространстве функций, без каких-либо ограничений по симметрии функций. Но В ПРИРОДЕ НЕ СУЩЕСТВУЕТ НИЧЕГО, соответсвующего математической модели с таким оператором, действующем на всех функциях без ограничения по симметрии, в качестве гамильтониана.

Кстати, это Вам уже говорили многократно, но тут Вы начинаете повторять этот вопрос как какой-то автомат. Ответ Вам дан. Вас ответ не устраивает? Ну это Ваше личное дело, тут Вам никто не поможет. По той простой причине, что помочь невозможно. Предъявляйте Ваши претензии к создателю Вселенной. Больше, вроде, не к кому.

Этот создатель создал Вселенную так, что частицы, описываемые только симметричными функциями есть. Другие частицы, описываемые асимметричными функциями (но тут уже обязан быть полуцелый спин) --- тоже есть. А вот частиц, которые описываются то симметричными функциями, то асимметричными, (есть и те, и другие состояния этих частиц) --- таких частиц в природе нету. Почему? Задайте это вопрос Г.Богу, может он сможет ответить. Я не могу. И никто из людей не сможет (Еще и в рамках нерелятивисткой теории! Ничего себе желаньеце!).