Фермионы и бозоны: подробности

[Cos(x-pi/2)]

WolfAlone в сообщении #1098959 писал(а):

А что все-таки делать с теми "многочастичными гамильтонианами" порождающими и симметричные и антисимметричные состояния? Просто объявить нефизичными?

Выше подробный ответ Вам уже дал Alex-Yu. Если неясность ещё осталась, то давайте вернёмся к вашим начальным вопросам:

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

пусть я имею 2-мерный гармонический осциллятор с гамильтонианом $\hat H=\partial_{xx}+\partial_{yy}+x^2+y^2$. Тут нет никаких спиновых переменных. Но я ведь могу строить собственные 2-частичные состояния симметричные и антисимметричные. Спин в гамильтониане отсутствует, а симметричные-антисимметричные решения есть. В чем мое недопонимание?

Недопонимание в том, что Вы пытаетесь здесь делать суждение о типе частиц и их статистике ("фермионы" они или "бозоны") только по виду гамильтониана задачи $H(x,y)$ и по виду некоторых его собственных функций $\Psi(x,y).$ Правда же в том, что формула гамильтониана и форма зависимости его собственных функций от координатных переменных ничего не говорит нам о типе частиц; в вашем примере - не говорит даже о количестве $N$ рассматриваемых частиц. Т.е. в вашей постановке задачи банально не хватает исходных данных, чтобы рассуждать о бозонах или фермионах. Поясню подробнее.

Всё, что мы можем извлечь из стационарного уравнения Шрёдингера в вашем примере с $H,$ это формулу энергетических уровней $E_n=n+1$ и выражение для частных решений $\Psi:$

$\Psi_{k,m}(x,y)=\psi_k(x)\psi_m(y),$

где $\psi$ - волновые функции одномерного гармонического осциллятора. Энергия здесь зависит только от "главного квантового числа" $n=k+m,$ т.е. все уровни возбуждённых состояний вырождены, так что уровню $E_n > 1$ принадлежат не только указанные частные решения, но и их произвольные линейные комбинации с фиксированным $k+m=n:$

$\Psi_n(x,y)=\sum_m\, C_m\psi_{n-m}(x)\psi_m(y)$

где $C_m$ - произвольные комплексные коэффициенты. Другими словами, у Вас здесь нет никаких оснований брать только симметричные или антисимметричные комбинации, отбрасывая все остальные. Здесь в постановке задачи вообще нет исходных данных для того, чтобы отдать предпочтение каким-либо избранным значениям $C_m.$

Здесь нет также информации и о том, сколько и какие частицы рассматриваются. Для ясности, перечислю различные возможные интерпретации этой задачи; т.е. перечислим, то, что должно быть указано дополнительно к гамильтониану, чтобы задача обрела физический смысл:

1) Это может быть гамильтониан одной частицы, совершающей двумерное движение в изотропном потенциале $x^2+y^2.$ Тогда, выбирая различным образом $C_m,$ мы можем описывать состояния с различной "поляризацией" этого двумерного осциллятора - с линейной поляризацией "вдоль оси" $x,$ или $y,$ или с "круговой поляризацией", левой либо правой, и т.п. Вводить стандартное понятие "бозоны" или "фермионы" в этой интерпретации нет оснований.

2) Это может быть суммарный гамильтониан системы двух невзаимодействующих частиц - одномерных осцилляторов, находящихся на сколь угодно большом расстоянии друг от друга. Координата $x$ описывает отклонение от дна потенциальной ямы первой частицы, $y$ - отклонение от дна потенциальной ямы второй частицы. Частицы здесь могут быть разного сорта, а могут быть и одинаковыми; причём, какому бы типу статистики они ни подчинялись, это не влияет на энергетический спектр системы и свободу выбора коэффициентов $C_m$ - ничто здесь не запрещает двум частицам находиться "в одинаковых" состояниях $\psi_k(x)$ и $\psi_k(y),$ поскольку эти состояния находятся в удалённых друг от друга потенциальных ямах.

3) Это может быть суммарный гамильтониан двух невзаимодействующих одномерных осцилляторов, находящихся в одной и той же потенциальной яме; $x$ означает координату первого осциллятора, $y$ - координата второго осциллятора. Если это частицы разного сорта, то всё так же, как и в предыдущей интерпретации. Если же будет сказано, что это "бозоны", то следует отобрать только симметризованные состояния. А если это "фермионы", то оставляем в игре только антисимметризованные состояния.

4) Это может быть двумерная яма, населённая произвольным количеством $N$ невзаимодействующих частиц. Найденный выше спектр $E_n$ и принадлежащие ему волновые функции описывают 1-частичные стационарные состояния. Если $N$ частиц здесь являются "бозонами", то надо составить симметризованные базисные функции в виде линейных комбинаций N-кратных произведений 1-частичных функций ("пермутанты"). Если же $N$ частиц здесь являются "фермионами", то из N-кратных произведений 1-частичных функций надо составлять "детерминанты". Спектр энергии системы определится как сумма 1-частичных энергий занятых частицами состояний. т.е. вошедших соответственно в "пермутанты" или в "детерминанты".

5) Это могут быть две одномерные ямы, разнесённые далеко друг от друга, и населённые произвольным количеством частиц $N_1$ и $N_2.$ Как и в предыдущей интерпретации, решение уравнения Шредингера дало нам только описание 1-частичных состояний в ямах. А заселяться они могут как нам угодно, в зависимости от того, какую статистику мы укажем для частиц (может быть даже и так, что в одной яме живут "бозоны", а в другой "фермионы")

Важно, что в настоящей физике, в отличие от этой модельной игры, тип статистики определяется спином частиц: спин управляет типом симметрии N-частичных квантовых состояний к перестановкам квантовых чисел тождественных частиц. И тем самым спин управляет способностью (или неспособностью) частиц заселять одинаковые квантовые состояния - одинаковые не только в смысле одинаковости орбитальных волновых функций, но одинаковые по всем квантовым числам, включая все внутренние и саму проекцию спина.

WolfAlone в сообщении #1098959 писал(а):

Спин без магнита ведь не появляется. Нет магнита, нет спина.

Это попросту неверно.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1098959 писал(а):

Спин без магнита ведь не появляется. Нет магнита, нет спина.

Проявляется. Например в виде зависящего от спинов обменного взаимодействия. При всем при том, что при этом в гамильтониан спины не входят вообще. Обычное кулоновское взиаимодействие:

$$ H_{int}=\frac{e^2}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|} \, . $$

Нет здесь никаких спинов в формуле (в "нулевом" гамильтониане --- и подавно). Но, тем не менее, уровни энергии от спинов зависят: при сонаправленных спинах будет одна энергия, а при противоположно направленных --- совсем другая. Потому что в первом случае пространственная часть волновой функции асимметрична (так как спиновая симметрична), а во втором --- наоборот, пространственная симметрична, а спиновая асимметрична. Вместе, и по спинам, и по координатам одновременно (т.е. по перестановкам частиц), и та и другая волновая функция асимметрична. Как и должно быть для электронов.

-- Сб фев 13, 2016 13:04:36 --

WolfAlone в сообщении #1098959 писал(а):

А что все-таки делать с теми "многочастичными гамильтонианами" порождающими и симметричные и антисимметричные состояния?

Просто такие "гамильтонианы" --- еще не вполне гамильтонианы. Да, в координатном представлении можно написать некую формулу, дифференциальный оператор. Но, чтобы полностью определить оператор (например, гамильтониан) нужно еще сказать НА КАКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОН ДЕЙСТВУЕТ. Сами символы производных и т.п. --- это еще только полдела. Один и тот же "гамильтониан" в виде формулы с производными может действовать на пространстве симметричных функций (другие запрещены), асимметричных функций, или функций не подчиненных условиям симметрии относительно перестановок. Это три РАЗНЫХ гамильтониана. При том что буковки написанные в формуле не отличаются НИЧЕМ.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1099001 писал(а):

Нужно еще сказать НА КАКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОН ДЕЙСТВУЕТ

Именно это я пытаюсь объяснить ТС с самого начала. Правда в применении к уже антисимметричным функциям.

Даже если бы это был не спин, а какая-то мистическая внутренняя переменная, принимающая $l$ разных значений и никак не входящая в ганильтониан, мы бы получили бы разные пространства. ПБез этой переменной это было бы $L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$, а с нею $L^2(\mathbb{R}^3\times \{1,\ldots,l\},\mathbb{C})\simeq L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^l)$.

Уже в одночастичных гамильтонианах от этого спектр стал бы кратным (увеличил кратность в $l$ раз), но разница вылезла бы немедленно в многочастичных, потому как на каждой "орбитали" помещалось бы вместо одной $l$ частиц, что мы и наблюдаем в атомах даже если нет магнитного поля и игнорируем спин-спиновое взаимодействие(которое и расщепляет эти уровни энергии).

[WolfAlone]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1098986 писал(а):

Если неясность ещё осталась, то давайте вернёмся к вашим начальным вопросам:

Спасибо, немного проясняется, но вопросы еще есть и не мало. Например, благодаря Alex-Yu я полностью прояснил про детерминанты. Я вижу много ценных мыслей, но вопросы пока лезут. Попробуем еще немного, но не все сразу.

Alex-Yu в сообщении #1099001 писал(а):

При всем при том, что при этом в гамильтониан спины не входят вообще. Обычное кулоновское взиаимодействие:

$$ H_{int}=\frac{e^2}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|} \, . $$

Нет здесь никаких спинов в формуле (в "нулевом" гамильтониане --- и подавно). Но, тем не менее, уровни энергии от спинов зависят:

Хорошо, давайте возьмем этот гамильтониан. И еще

Red_Herring в сообщении #1099010 писал(а):

мы бы получили бы разные пространства. ПБез этой переменной это было бы $L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$, а с нею $L^2(\mathbb{R}^3\times \{1,\ldots,l\},\mathbb{C})\simeq L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^l)$

Red_Herring в сообщении #1099010 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1099001
писал(а):
Нужно еще сказать НА КАКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОН ДЕЙСТВУЕТ

Тут не совсем ясно. Когда я объявляю пространство, я фактически указываю степени свободы $x_1, s_1,...$
для $psi$-функции и поэтому взяв этот ваш гамильтониан выше я еще вправе распоряжаться (?)
по каким переменным и на какие функции он действует. Тут не ясно. При именно таком гамильтониане я
могу считать, пусть $\psi(x)$, но могу объявить и пусть $\psi(x,s)$. Во втором случае я фактически ввел со стороны дополнительные степени свободы, даже хотя они не присутствуют в гамильтониане (?). Мне это пока не нравится. Это не ясно. Я ведь могу ввести такие степени свободы и еще многими разными способами. Но это выглядит как искусственное математическое изменение и расширение физической постановки. Будут, как понимаю, другие спиновые частицы. Я если не вводить, то (?) тоже какие-то свои частицы? То есть, что мне не ясно. Мы рождаем спиновую механику, расширением класса объектов-состояний, на которые действуют операторы. Гамильтонианы, например. Я в принципе не против этого. В конечном счете это рано или поздно сведется к более четкому определению, что понимать под квантовой частицей, через, типа неприводимого представления некоторой группы. Похоже, что так? Но почему я не могу все это прокрутить оставаясь на скалярных волновых функциях? Чисто математическое расширение $L_2$ мне пока кажется некоторым "насилием сверху".
В вашем гамильтониане выше действительно спинов нет. Но есть эффекты (спектры, то есть) от операций
перестановок. Согласен. Пусть мы назовем это обменным взаимодействием. Но по факту - это просто некоторое взаимодействие, так как есть член $U(r_{12})$, но с чего вдруг мы это связываем с той кинематикой, что вы хорошо описали в постах выше. Есть искажения спектров, есть такой вот гамильтониан, нет и не знаем еще никаких магнитных полей, нет релятивизма. То есть имеем фактически квантовую электоростатику и почему объяснение подключает довольно много внешних конструкций? Почему необходимо объяснять все это введением новых степеней свободы, а не, например, ограничиться постулированием (а)симметрии по перестановкам номеров частиц, коль скоро мы все согласны, что это достаточно физичное требование?

Вот Cos(x-pi/2) предложил несколько моделей для физической трактовки, но все они отличаются как я понимаю, интерпретацией. Причем их там, в моем кривом гамильтониане, очень много. Ну и что. Выбираем любые, бозоны, фермионы. В смысле симметричности решений, но понятие 2-частичности, как классической "предбазы" пусть остается.

Не было бы вопросов, если бы все такое слишком большое разнообразие интерпретаций или спиновых переимнований обменных членов отсекалось бы экспериментом. Тогда да, мне было бы вполне убедительно, что отрезать, что не отбрасывать.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1098986 писал(а):

форма зависимости его собственных функций от координатных переменных ничего не говорит нам о типе частиц; в вашем примере - не говорит даже о количестве $N$ рассматриваемых частиц. Т.е. в вашей постановке задачи банально не хватает исходных данных

Тут не понятно. Даже в классике, 2 частицы в 1-мерном пр-ве или одна в 2-мерном, это все слова,
не меняющие математику (?).

Cos(x-pi/2) в сообщении #1098986 писал(а):

Это может быть двумерная яма, населённая произвольным количеством $N$ невзаимодействующих частиц

Cos(x-pi/2) в сообщении #1098986 писал(а):

и населённые произвольным количеством частиц $N_1$

Cos(x-pi/2) в сообщении #1098986 писал(а):

спин управляет типом симметрии N-частичных квантовых состояний

Но в моем определении гамильтониана жестко стоят ровно 2 частицы; полевые версии осцилляторов я сейчас не затрагиваю.

Alex-Yu в сообщении #1099001 писал(а):

Но, тем не менее, уровни энергии от спинов зависят:

Разрешите здесь придраться? Да есть уровни, они какие-то, кривые, прямые, вырожденные или нет и т.д. Не важно. Но все они происходят исключительно от данного вида потенциала взаимодействия (?) Где здесь природа спина? Той спиновой кинематики? Какой-то электрический потенциал делает взаимодействие между теми объектами, которые я называю квантовые частицы. Сам потенциал назовем - логично - обменным. Хорошо. Но откуда и какой такой здесь спин? Не пойму.

Я, вообще-то, смотрю, что в книжках по этому поводу довольно хреново и плохо написано. Или кто так не считает? Например, вычитал на днях в учебнике Бете, стр.32: "собственная функция электрона должна быть антисимметричной". Либо я остался туп и не въезжаю или он чушь морозит. Кто прокомментирует? Где тут он что переставляет?

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099024 писал(а):

Разрешите здесь придраться? Да есть уровни, они какие-то, кривые, прямые, вырожденные или нет и т.д. Не важно. Но все они происходят исключительно от данного вида потенциала взаимодействия (?)

Нет, не разрешаю. По той простой причине, что фраза "все они происходят исключительно от данного вида потенциала взаимодействия" не верна.

-- Сб фев 13, 2016 16:50:50 --

WolfAlone в сообщении #1099024 писал(а):

Сам потенциал назовем - логично - обменным.

Нет никакого "обменного потенциала"! Не существует его в природе. Есть только самый обычный кулоновский потенциал. Независящий от спинов. А вот уровни энергии, тем не менее, при таком потенциале зависят от спинов. Факт. Как экспериментальный, так и теоретический. Не подлежащий сомнению.

-- Сб фев 13, 2016 16:53:41 --

WolfAlone в сообщении #1099024 писал(а):

взяв этот ваш гамильтониан выше я еще вправе распоряжаться (?)
по каким переменным и на какие функции он действует.

Не только вправе, но и обязаны.

-- Сб фев 13, 2016 16:54:46 --

WolfAlone в сообщении #1099024 писал(а):

Мне это пока не нравится.

Ну мало ли кому что не нравится. Мне вот не нравится, что бифштексы не растут на деревьях

[WolfAlone]

А как тогда понимать? Есть потенциал. Есть вполне определенный оператор, действующий на 1-мерные функции; пусть пока жестко только они. Припишем для строгости нужные области определения. Как именовать или интерпретировать переменные-буквы $x$ - это скорее не важно. Вроде все есть. Построили спектр. Строим симметричности и антисимметричнсти и т.д. Где собака зарыта? Я так понимаю, что тот самый обсуждаемый спин мы здесь не получим конечно, но это ведь не от того, что...?

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099029 писал(а):

Есть вполне определенный оператор, действующий на 1-мерные функции;

Оператор, действующий на одномерные функции --- это одночастичный оператор. Вообще говоря, он не имеет никакого отношения к многочастичным операторам. Одночастичный оператор некоторой физической величины и многочастичный оператор ТОЙ ЖЕ САМОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПРИ ТЕХ ЖЕ САМЫХ потенциалах и т.п. --- это РАЗНЫЕ операторы, действующие в разных пространствах.

-- Сб фев 13, 2016 17:03:38 --

Alex-Yu в сообщении #1099031 писал(а):

Как именовать или интерпретировать переменные-буквы $x$ - это скорее не важно.

Так букв разное количество! Что в операторах, что в волновых функциях. Для одной частицы одна буква, для двух частиц --- две буквы (две переменные), для трех --- три буквы...

Двухчастичная (для простоты) система НЕ ОПИСЫВАТСЯ двумя одночастичными волновыми функциями $\psi(x_1)$ и $\psi(x_2)$, она описывается одной двухчастичной волновой функцией $\psi(x_1,x_2)$.

[WolfAlone]

Не понятно. Есть пространство $\psi(x_1,x_2)\in L^2(R^2)$. Где появляются различия в операторах при одном и том же дифференциальном выражении? Где здесь вообще нужны слова про "многочастичность"?

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099034 писал(а):

Есть пространство $\psi(x_1,x_2)\in L^2(R^2)$.

А с чего это Вы вдруг взяли, что гамильтониан действует во всем этом пространстве? Во всем $ L^2(R^2)$ ? Например для бесспиновых бозонов (если уж не хочется спинов) он действует ТОЛЬКО в симметричной части этого пространства (легко сообразить, что это есть подпространтсво $ L^2(R^2)$ ). Функции $\psi(x_1,x_2)$ не лежащие в этом симметричном подпространстве функциями, конечно, являются, но они не являтся (и не могут являться) волновыми функциями такой физической системы.

[WolfAlone]

Не понял! Объявляю пр-во состояний. Это комплексные функции от двух, трех,... переменных. Пусть они лежат в $L^2$. Скалярное произведение стандартное. Что не так? Оператор написан выше. Мой или с Кулоном. В зависимости от необходимости можно использовать любой. Подпространства симметричные или антисимметричные я буду потом сооружать. Их я собираюсь потом наделять физическими словами.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099039 писал(а):

Объявляю пр-во состояний. Это комплексные функции от двух, трех,... переменных.

Неверно! Объявить Вы можете все, что угодно, но это не будут волновые функции. Некие функции, но не волновые функции такой физической системы!

Волновые функции физической системы --- это никак не (!) какие угодно функции. Бывают функциии, которые не могут быть волновыми функциями. В многочастичном случае требование $\in L^2$ необходимое, но НЕ ДОСТАТОЧНОЕ! Вы не полностью определили кинематику системы. Нет смысла говорить о динамике (потенциалах и т.п.) пока кинематика не определена.

[WolfAlone]

Ладно, вот подробности со строгостями. Пространство состояний, там где будут жить операторы, есть $L^2(\mathbb{R}^2)$. Это пространство комплекснозначных функций от 2х переменных. Можно добавить слова про гладкости и все другое, чего требует гильбертова полнота. Рассматриваю не нем оператор. Написано выше. Понастроил спектры. Начинаю заниматься, изучать, строить подпространства. Для физических нужд. Тоже построил. Симметрические состояния (пр-во), антисимметрические (тоже пр-во) и само объемлющее. Там еще наверно полно других. Ну вот и все. Теперь снова мои вопросы и рассуждения выше по тексту. Что такое (квантовая) кинематика системы я не понимаю. Вся квантовая механика сидит в волновых функциях (для наших целей сейчас этого достаточно) и в динамике Шредингера. В $\psi$-функциях сидят все измерения, а в динамике спектры и собственно динамика. Она, разумеется выуживается из классики, причем только из гамильтониана. Всякие спины, как пока я понимаю, лезут от конкретизаций $\psi$. Классические, наблюдаемые спины. Но математически они определяются по ... И тут опять начинаются мои вопросы, которые я уже расписывал выше подробно.

[Red_Herring]

WolfAlone в сообщении #1099045 писал(а):

Ладно, вот подробности со строгостями. Пространство состояний, там где будут жить операторы, есть $L^2(\mathbb{R}^2)$.

Всё! Вы выкинули спин. Нет у Вас спина. Заодно выкинули одну пространственную переменную, ну ладно, бог с ней.

Поймите, что выбор пространства это не Ваша прихоть.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099045 писал(а):

Что такое (квантовая) кинематика системы я не понимаю.

Квантовая кинематика определяется тем, какое пространство состояний. Не любое (!) пространство функций подходящего числа переменных (а также удовлетворяющих требованиям гладкости и т.п.) может быть пространством состояний. Т.е. функция запросто может лежать в пространстве функций и при этом не лежать в пространстве состояний.

-- Сб фев 13, 2016 17:51:19 --

Red_Herring в сообщении #1099052 писал(а):

Поймите, что выбор пространства это не Ваша прихоть.

Он этого принципиально понимать не хочет. Считает, что если пространство функций, то уже пространство состояний. А это не верно. Пространство состояний это подпространство подходящего пространства функций.

-- Сб фев 13, 2016 17:52:05 --

WolfAlone в сообщении #1099045 писал(а):

Вся квантовая механика сидит в волновых функциях (для наших целей сейчас этого достаточно) и в динамике Шредингера.

Это просто неверно.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1099053 писал(а):

Он этого принципиально понимать не хочет.

Я это давно понял. Просто это была последняя попытка

В.Высоцкий «Она была в Париже» писал(а):

Кто раньше с нею был и тот, кто будет после,-
Пусть пробуют они. Я лучше пережду.