Доказать неравенство

[TR63]

sergei1961 в сообщении #1098315 писал(а):

Все разумные доказательства неравенств Янга для двух чисел или весового неравенства AG уже давно найдены, не думаю, что можно новое придумать

Да, идея не моя. Но мне она очень нравится .

$p=\frac n m$, $q=\frac{n}{n-m}>1$, $\frac 1 p+\frac 1 q=1$, $\alpha=a^{\frac 1 p}$, $\beta=b^{\frac 1 q}$

$$\alpha\beta\le\frac{\alpha^p}{p}+\frac{\beta^q}{q}$$

Положить в неравенстве Коши $a_1=...=a_m=a$, $a_{m+1}=...=a_n=b$

[whitefox]

(Янг vs Юнг)

sergei1961 в сообщении #1098247 писал(а):

Предлагаю название-неравенство Янга. Так этого математика на самом деле и звали-Вильям Янг.

Ну и зачем вносить сумятицу? Очень часто открытие носит не имя автора, а чьё-нибудь другое, например уравнение Пелля. И вы уверены, что ваша транскрипция английской фамилли Young правильная? Ведь иностранные имена транскрибируются не по правилам фонетической транскрипции, а по правилам практической транскрипции.

[sergei1961]

про Young - это Вы серьёзно, что может как-то иначе произноситься? А не хотите, чтобы Ваше имя переврали? Или назвать другим именем жену или тёщу-какая разница? Попробуйте...

[whitefox]

(sergei1961)

sergei1961 в сообщении #1098463 писал(а):

про Young - это Вы серьёзно

Вполне серьёзно. Есть общепринятые правила транскрибирования иностранных имён и географических названий. Сделано это для их единообразного понимания. И правила эти довольно часто отступают от фонетической транскрипции. Например, известный немецкий поэт Ха́йнрихь Ха́йнэ по русски обзывается Генрих Гейне.
UPD: исправлено произношение имени поэта.

[sergei1961]

ну или Херман Вейль-тут хоть понятно ради чего. Но и в Ваших процитированных правилах есть-" y -в начале слова и после гласных вместо йа, ... пишется соответственно просто я, ...".
Насколько я знаю, это не следование правилам транскрипции, а безграмотная традиция, возникшая во времена дружбы с германией в 1930-40 гг., всеобщего пафосного изучения немецкого языка и онемечивания всего и вся. Все англо-американские Янги стали стали Юнгами, и великий физик Янг, и автор диаграмм Янга, и автор этого неравенства, и его жена (теорема Данжуа-Сакса-Янг) и тд. Пережил процесс нормально только швейцарский психотэрапэвт Юнг.
В это трудно поверить, но встречаются таки грамотные и умные люди одновременно. Так известная переводчица математических текстов М. Г. ЭЛУАШВИЛИ вернула хотя бы сыну нашего Вильяма---Лоуренсу Янгу его настоящее имя в книге Лекции по вариационному исчислению...Может быть как грузинка она бережнее относится к русскому языку, чем мы-его носители, бездумно следующие всякой хрени.
И ещё надо заставить один из моих любимых ансамблей Alphaville петь их знаменитую песню на новый лад: FOREEVER ЮНГ.

[OneMore]

TR63
Спасибо. Эта идея использовать несколько одинаковых слагаемых в неравенстве Коши необычна. Красиво получается.

[whitefox]

(sergei1961)

А мне ещё и многие правила русской орфографии не нравятся.
И некоторые статьи уголовного кодекса.
И административного.
И, вообще, всё это происки ... сами знаете кого.

[ewert]

(Оффтоп)

whitefox в сообщении #1098492 писал(а):

известный немецкий поэт Хенрих Хейне

Хайнрихь Хайне

OneMore в сообщении #1098047 писал(а):

У меня была мысль, что здесь как-то замешан логарифм и неравенство Йенсена, но почему-то я её сразу отбросил.

Это ровно выпуклость логарифма и есть, не больше и не меньше: если $m^p=a$, $n^q=b$, $\frac1p=t$ и $\frac1q=1-t$, то $ta+(1-t)b\geqslant a^tb^{1-t}\ \Leftrightarrow\ \ln\big(ta+(1-t)b\big)\geqslant t\ln a+(1-t)\ln b$

[sergei1961]

ewert-согласен, так проще и яснее всего.

[whitefox]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1098552 писал(а):

Хайнрихь Хайне

Спасибо. Поленился свериться с Википедией.
Исправил.

[ewert]

(Оффтоп)

whitefox в сообщении #1098563 писал(а):

Поленился свериться с Википедией.

В Вике любопытная стилистическая неточность: они транскрибируют слишком уж буквально -- "Хайнэ". Но тогда уж и скорее "Хайнрыхь".

[DeBill]

OneMore
Ну, если уж выпуклость - тогда и интегрировать можно?

$y=x^{p-1} \Leftrightarrow x=y^{q-1}$

$\int\limits_{0}^{a} x^{p-1} dx = \frac{a^p}{p} $

$\int\limits_{0}^{b} y^{q-1} dy =\frac{b^q}{q} $.
Тогда неравенство означает: площадь прямоугольника меньше суммы площадей двух криволинейных трапеций, что есть правда.

[ewert]

DeBill в сообщении #1098641 писал(а):

Ну, если уж выпуклость - тогда и интегрировать можно?

Тут есть нюанс: выпуклость идёт гораздо раньше дифференцирования (и уж тем более интегрирования). Собственно, выпуклость показательной функции (или, что эквивалентно, логарифма) -- одна из наиболее принципиальных причин её дифференцируемости.

[sergei1961]

ewert - мне кажется обычно выпуклость идёт рядом с дифференцированием или позже в обычном анализе, я не беру другие разделы. Иначе как выпуклость то самих элементарных функций установить, да ещё не использовать для этого классические неравенства, в данном случае для логарифма не использовать AG или Янга, чтобы потом их из выпуклости вывести, как Вы написали.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1098654 писал(а):

Иначе как выпуклость то самих элементарных функций установить,

Конкретно для показательных функций выпуклость устанавливается (в смысле может быть установлена) задолго до дифференцирований. Тупо индукциями. Да, для рациональных показателей, а дальше уж по непрерывности; но это-то уж точно по непрерывности. И потом она полезна именно для дифференцируемости, хоть и в неявной форме.