2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 22:52 


29/12/12
21
Доказать, что $$m^p/p+n^q/p \geq mn$$ при $n \geq 0, m \geq 0, p \geq 0, q \geq 1/p + 1/q = 1$.
Задача из темы неравенства Коши. Как по мне, нужно применять неравенство о среднем геометрическом и арифметическом.
Применяю:
$$\frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {p} \geq \frac 1 2 \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q}{pq}} = \frac 1 2 \sqrt{\frac {m^p \cdot n^q} {p+q}}$$
Либо о среднем гармоническом:
$$\frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {p} \geq \frac{1}{p/m^p+q/n^q}$$
Подскажите пожалуйста идею.

P.S. Я уверен, эта задача уже встречалась, но поиск по формуле не дал никакого результата. Подскажите, как искать по формуле или сформулировать поисковый запрос для задач, которые не формулируются словами.
Есть ли какое-то ограничение на количество и качество заданных вопросов? В правилах форума ничего не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 22:56 


19/05/10

3940
Россия
Гельдер

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:02 


29/12/12
21
mihailm
Эта задача из школьного курса для 9-11 класса. Может, есть какое-то решение в стиле "применить неравенство Коши"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:04 


19/05/10

3940
Россия
В книге Коровкин "Неравенства" имеется доказательство с минимумом средств

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:06 


29/12/12
21
mihailm
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:06 


19/05/10

3940
Россия
Совсем простого не будет - возведение числа в действительную степень уже проблематично

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13493
Москва
OneMore в сообщении #1098000 писал(а):
Доказать, что $$m^p/p+n^q/p \geq mn$$ при $n \geq 0, m \geq 0, p \geq 0, q \geq 1/p + 1/q = 1$.

А неравенство точно такое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 06:34 
Аватара пользователя


04/10/15
273
OneMore в сообщении #1098000 писал(а):
P.S. Я уверен, эта задача уже встречалась, но поиск по формуле не дал никакого результата. Подскажите, как искать по формуле или сформулировать поисковый запрос для задач, которые не формулируются словами.
Есть ли какое-то ограничение на количество и качество заданных вопросов? В правилах форума ничего не нашел.

Похоже на неравенство Юнга, но знаменатель при $n^q$ смущает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 08:12 


29/12/12
21
iou
Да, точно, опечатка. И точно, неравенство Юнга. Спасибо. У меня была мысль, что здесь как-то замешан логарифм и неравенство Йенсена, но почему-то я её сразу отбросил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 11:18 


03/03/12
1269
OneMore в сообщении #1098004 писал(а):
Эта задача из школьного курса для 9-11 класса. Может, есть какое-то решение в стиле "применить неравенство Коши"?

Именно так. (Получится очень красивое доказательство; посмотрите внимательно на неравенство АМ-ГМ; попробуйте сделать замену переменных.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 23:01 


25/08/11

1074
Предлагаю название-неравенство Янга. Так этого математика на самом деле и звали-Вильям Янг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 00:27 


29/12/12
21
TR63
$$ \frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {q} \geq 2 \cdot \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q} {pq}}$$
Замена, приходящая на ум:
$$p = \frac {t+1} {t}, q = t+1$$
Подставляю:
$$2 \cdot \sqrt{\frac{m^{\frac {t+1} {t}} \cdot n^{t+1} \cdot t} {(t+1)^2}}$$

Или пробую так:
$$m^p = m^{2 + p - 2}=m^2 \cdot m^{\frac {p} {q} - 1}, n^q = n^{2 + q - 2}=n^2 \cdot n^{\frac {q} {p} - 1}$$
$$2 \cdot \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q} {pq}} = 2 \cdot mn \sqrt{\frac {m^{\frac {p} {q} - 1} \cdot n^{\frac {q} {p} - 1}} {pq}}$$
Красивого решения не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 08:23 


25/08/11

1074
Все разумные доказательства неравенств Янга для двух чисел или весового неравенства AG уже давно найдены, не думаю, что можно новое придумать. Несколько десятков доказательств собрано в соответствующих местах книг Д. Митриновича с соавторами.

Самое простое доказательство-использовать скрытую однородность, ввести функцию, вычислить производную...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 08:35 


29/12/12
21
sergei1961
Ввести функцию, вычислить производную - это приведет к логарифму и неравенству Йенсена? Да, такое решение уже видел.
А скрытая однородность, это что? Какой аргмент для функции выбрать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 08:51 


25/08/11

1074
Всё намного проще. Я запишу в привычном виде:
$$
xy \leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}. (1)
$$
Скрытая однородность-делим на $y^q$. Получаем $t \leq t^p/p +1/q, t=\frac{x}{y^{q-1}}$. Вводим функцию, записываем нужное неравенство $f(t)=\frac{t^p}{p}-t+\frac{1}{q}\geq 0$. Производная $f'(t)\geq 0, t \geq 0, p>1$.
Итого: функция в нуле больше нуля, производная неотрицательная, функция возрастает, и подавно везде больше нуля. Всё!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group