Доказать неравенство

[OneMore]

Доказать, что

$$m^p/p+n^q/p \geq mn$$

при $n \geq 0, m \geq 0, p \geq 0, q \geq 1/p + 1/q = 1$.
Задача из темы неравенства Коши. Как по мне, нужно применять неравенство о среднем геометрическом и арифметическом.
Применяю:

$$\frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {p} \geq \frac 1 2 \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q}{pq}} = \frac 1 2 \sqrt{\frac {m^p \cdot n^q} {p+q}}$$

Либо о среднем гармоническом:

$$\frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {p} \geq \frac{1}{p/m^p+q/n^q}$$

Подскажите пожалуйста идею.

P.S. Я уверен, эта задача уже встречалась, но поиск по формуле не дал никакого результата. Подскажите, как искать по формуле или сформулировать поисковый запрос для задач, которые не формулируются словами.
Есть ли какое-то ограничение на количество и качество заданных вопросов? В правилах форума ничего не нашел.

[mihailm]

Гельдер

[OneMore]

mihailm
Эта задача из школьного курса для 9-11 класса. Может, есть какое-то решение в стиле "применить неравенство Коши"?

[mihailm]

В книге Коровкин "Неравенства" имеется доказательство с минимумом средств

[OneMore]

mihailm
Спасибо.

[mihailm]

Совсем простого не будет - возведение числа в действительную степень уже проблематично

[Brukvalub]

OneMore в сообщении #1098000 писал(а):

Доказать, что

$$m^p/p+n^q/p \geq mn$$

при $n \geq 0, m \geq 0, p \geq 0, q \geq 1/p + 1/q = 1$.

А неравенство точно такое?

[iou]

OneMore в сообщении #1098000 писал(а):

P.S. Я уверен, эта задача уже встречалась, но поиск по формуле не дал никакого результата. Подскажите, как искать по формуле или сформулировать поисковый запрос для задач, которые не формулируются словами.
Есть ли какое-то ограничение на количество и качество заданных вопросов? В правилах форума ничего не нашел.

Похоже на неравенство Юнга, но знаменатель при $n^q$ смущает.

[OneMore]

iou
Да, точно, опечатка. И точно, неравенство Юнга. Спасибо. У меня была мысль, что здесь как-то замешан логарифм и неравенство Йенсена, но почему-то я её сразу отбросил.

[TR63]

OneMore в сообщении #1098004 писал(а):

Эта задача из школьного курса для 9-11 класса. Может, есть какое-то решение в стиле "применить неравенство Коши"?

Именно так. (Получится очень красивое доказательство; посмотрите внимательно на неравенство АМ-ГМ; попробуйте сделать замену переменных.)

[sergei1961]

Предлагаю название-неравенство Янга. Так этого математика на самом деле и звали-Вильям Янг.

[OneMore]

TR63

$$ \frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {q} \geq 2 \cdot \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q} {pq}}$$

Замена, приходящая на ум:

$$p = \frac {t+1} {t}, q = t+1$$

Подставляю:

$$2 \cdot \sqrt{\frac{m^{\frac {t+1} {t}} \cdot n^{t+1} \cdot t} {(t+1)^2}}$$

Или пробую так:

$$m^p = m^{2 + p - 2}=m^2 \cdot m^{\frac {p} {q} - 1}, n^q = n^{2 + q - 2}=n^2 \cdot n^{\frac {q} {p} - 1}$$

$$2 \cdot \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q} {pq}} = 2 \cdot mn \sqrt{\frac {m^{\frac {p} {q} - 1} \cdot n^{\frac {q} {p} - 1}} {pq}}$$

Красивого решения не вижу.

[sergei1961]

Все разумные доказательства неравенств Янга для двух чисел или весового неравенства AG уже давно найдены, не думаю, что можно новое придумать. Несколько десятков доказательств собрано в соответствующих местах книг Д. Митриновича с соавторами.

Самое простое доказательство-использовать скрытую однородность, ввести функцию, вычислить производную...

[OneMore]

sergei1961
Ввести функцию, вычислить производную - это приведет к логарифму и неравенству Йенсена? Да, такое решение уже видел.
А скрытая однородность, это что? Какой аргмент для функции выбрать?

[sergei1961]

Всё намного проще. Я запишу в привычном виде:

$$ xy \leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}. (1) $$

Скрытая однородность-делим на $y^q$. Получаем $t \leq t^p/p +1/q, t=\frac{x}{y^{q-1}}$. Вводим функцию, записываем нужное неравенство $f(t)=\frac{t^p}{p}-t+\frac{1}{q}\geq 0$. Производная $f'(t)\geq 0, t \geq 0, p>1$.
Итого: функция в нуле больше нуля, производная неотрицательная, функция возрастает, и подавно везде больше нуля. Всё!