2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 22:52 
Доказать, что $$m^p/p+n^q/p \geq mn$$ при $n \geq 0, m \geq 0, p \geq 0, q \geq 1/p + 1/q = 1$.
Задача из темы неравенства Коши. Как по мне, нужно применять неравенство о среднем геометрическом и арифметическом.
Применяю:
$$\frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {p} \geq \frac 1 2 \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q}{pq}} = \frac 1 2 \sqrt{\frac {m^p \cdot n^q} {p+q}}$$
Либо о среднем гармоническом:
$$\frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {p} \geq \frac{1}{p/m^p+q/n^q}$$
Подскажите пожалуйста идею.

P.S. Я уверен, эта задача уже встречалась, но поиск по формуле не дал никакого результата. Подскажите, как искать по формуле или сформулировать поисковый запрос для задач, которые не формулируются словами.
Есть ли какое-то ограничение на количество и качество заданных вопросов? В правилах форума ничего не нашел.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 22:56 
Гельдер

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:02 
mihailm
Эта задача из школьного курса для 9-11 класса. Может, есть какое-то решение в стиле "применить неравенство Коши"?

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:04 
В книге Коровкин "Неравенства" имеется доказательство с минимумом средств

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:06 
mihailm
Спасибо.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.02.2016, 23:06 
Совсем простого не будет - возведение числа в действительную степень уже проблематично

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 00:46 
Аватара пользователя
OneMore в сообщении #1098000 писал(а):
Доказать, что $$m^p/p+n^q/p \geq mn$$ при $n \geq 0, m \geq 0, p \geq 0, q \geq 1/p + 1/q = 1$.

А неравенство точно такое?

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 06:34 
Аватара пользователя
OneMore в сообщении #1098000 писал(а):
P.S. Я уверен, эта задача уже встречалась, но поиск по формуле не дал никакого результата. Подскажите, как искать по формуле или сформулировать поисковый запрос для задач, которые не формулируются словами.
Есть ли какое-то ограничение на количество и качество заданных вопросов? В правилах форума ничего не нашел.

Похоже на неравенство Юнга, но знаменатель при $n^q$ смущает.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 08:12 
iou
Да, точно, опечатка. И точно, неравенство Юнга. Спасибо. У меня была мысль, что здесь как-то замешан логарифм и неравенство Йенсена, но почему-то я её сразу отбросил.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 11:18 
OneMore в сообщении #1098004 писал(а):
Эта задача из школьного курса для 9-11 класса. Может, есть какое-то решение в стиле "применить неравенство Коши"?

Именно так. (Получится очень красивое доказательство; посмотрите внимательно на неравенство АМ-ГМ; попробуйте сделать замену переменных.)

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение09.02.2016, 23:01 
Предлагаю название-неравенство Янга. Так этого математика на самом деле и звали-Вильям Янг.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 00:27 
TR63
$$ \frac {m^p} {p} + \frac {n^q} {q} \geq 2 \cdot \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q} {pq}}$$
Замена, приходящая на ум:
$$p = \frac {t+1} {t}, q = t+1$$
Подставляю:
$$2 \cdot \sqrt{\frac{m^{\frac {t+1} {t}} \cdot n^{t+1} \cdot t} {(t+1)^2}}$$

Или пробую так:
$$m^p = m^{2 + p - 2}=m^2 \cdot m^{\frac {p} {q} - 1}, n^q = n^{2 + q - 2}=n^2 \cdot n^{\frac {q} {p} - 1}$$
$$2 \cdot \sqrt{\frac{m^p \cdot n^q} {pq}} = 2 \cdot mn \sqrt{\frac {m^{\frac {p} {q} - 1} \cdot n^{\frac {q} {p} - 1}} {pq}}$$
Красивого решения не вижу.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 08:23 
Все разумные доказательства неравенств Янга для двух чисел или весового неравенства AG уже давно найдены, не думаю, что можно новое придумать. Несколько десятков доказательств собрано в соответствующих местах книг Д. Митриновича с соавторами.

Самое простое доказательство-использовать скрытую однородность, ввести функцию, вычислить производную...

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 08:35 
sergei1961
Ввести функцию, вычислить производную - это приведет к логарифму и неравенству Йенсена? Да, такое решение уже видел.
А скрытая однородность, это что? Какой аргмент для функции выбрать?

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение10.02.2016, 08:51 
Всё намного проще. Я запишу в привычном виде:
$$
xy \leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}. (1)
$$
Скрытая однородность-делим на $y^q$. Получаем $t \leq t^p/p +1/q, t=\frac{x}{y^{q-1}}$. Вводим функцию, записываем нужное неравенство $f(t)=\frac{t^p}{p}-t+\frac{1}{q}\geq 0$. Производная $f'(t)\geq 0, t \geq 0, p>1$.
Итого: функция в нуле больше нуля, производная неотрицательная, функция возрастает, и подавно везде больше нуля. Всё!

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group