Решить систему линейных уравнений.
![$\left\{
\begin{array}{rcl}
2x+y-z\equiv 1 \\
x+2y+z\equiv 2 \\
x+y-z\equiv -1 \\
\end{array}
\right.$
\pmod 5 $\left\{
\begin{array}{rcl}
2x+y-z\equiv 1 \\
x+2y+z\equiv 2 \\
x+y-z\equiv -1 \\
\end{array}
\right.$
\pmod 5](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/5/58528cfb9113dcb6bca6b66809c04ceb82.png)
Решаю методом Гаусса:
![$\begin{Vmatrix}
2&1&-1&1 \\
1&2&1&2 \\
1&1&-1&-1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_1_,_2(1),F_1_,_3(-3)}
\begin{Vmatrix}
0&0&3&1 \\
2&3&0&1 \\
1&1&-1&-1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_1(2)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
2&3&0&1 \\
1&1&-1&-1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_3_,_1(1)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
2&3&0&1 \\
1&1&0&1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_2_,_3(-2)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
0&1&0&-1 \\
1&1&0&1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_3_,_2(-1)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
0&1&0&-1 \\
1&0&0&2
\end{Vmatrix}
$ $\begin{Vmatrix}
2&1&-1&1 \\
1&2&1&2 \\
1&1&-1&-1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_1_,_2(1),F_1_,_3(-3)}
\begin{Vmatrix}
0&0&3&1 \\
2&3&0&1 \\
1&1&-1&-1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_1(2)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
2&3&0&1 \\
1&1&-1&-1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_3_,_1(1)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
2&3&0&1 \\
1&1&0&1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_2_,_3(-2)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
0&1&0&-1 \\
1&1&0&1
\end{Vmatrix}
\xrightarrow{F_3_,_2(-1)}
\begin{Vmatrix}
0&0&1&2 \\
0&1&0&-1 \\
1&0&0&2
\end{Vmatrix}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/01564ada8a5d1e9ee7a5bf4634dcfb4c82.png)
Собственно получаем ответ
![$^t (2,-1,2)$ $^t (2,-1,2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/d/96daec69d262855be8666fa86462f5f182.png)
, ответ же учебника
![$^t (2,4,2)$ $^t (2,4,2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/b/7fbf54df8c2d3855d1b4ebd4fdb6a77c82.png)
.
И несколько вопросов:
1) Что я делаю не так? (при подстановке в систему оба ответа подходят)
2) Правильно ли я понимаю, что за место деления в данном случае надо использовать умножение на обратный элемент в кольце по данному модулю?
3) Возможно ли как то решать такие системы методом Крамера?
Буду очень благодарен за ссылки на литературу где можно прочитать о способах решения таких систем аналитическим путем.