Система линейных уравнений по модулю

[XelMed]

Решить систему линейных уравнений.
$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y-z\equiv 1 \\ x+2y+z\equiv 2 \\ x+y-z\equiv -1 \\ \end{array} \right.$ \pmod 5
Решаю методом Гаусса:

$\begin{Vmatrix} 2&1&-1&1 \\ 1&2&1&2 \\ 1&1&-1&-1 \end{Vmatrix} \xrightarrow{F_1_,_2(1),F_1_,_3(-3)} \begin{Vmatrix} 0&0&3&1 \\ 2&3&0&1 \\ 1&1&-1&-1 \end{Vmatrix} \xrightarrow{F_1(2)} \begin{Vmatrix} 0&0&1&2 \\ 2&3&0&1 \\ 1&1&-1&-1 \end{Vmatrix} \xrightarrow{F_3_,_1(1)} \begin{Vmatrix} 0&0&1&2 \\ 2&3&0&1 \\ 1&1&0&1 \end{Vmatrix} \xrightarrow{F_2_,_3(-2)} \begin{Vmatrix} 0&0&1&2 \\ 0&1&0&-1 \\ 1&1&0&1 \end{Vmatrix} \xrightarrow{F_3_,_2(-1)} \begin{Vmatrix} 0&0&1&2 \\ 0&1&0&-1 \\ 1&0&0&2 \end{Vmatrix} $
Собственно получаем ответ $^t (2,-1,2)$, ответ же учебника $^t (2,4,2)$.
И несколько вопросов:
1) Что я делаю не так? (при подстановке в систему оба ответа подходят)
2) Правильно ли я понимаю, что за место деления в данном случае надо использовать умножение на обратный элемент в кольце по данному модулю?
3) Возможно ли как то решать такие системы методом Крамера?

Буду очень благодарен за ссылки на литературу где можно прочитать о способах решения таких систем аналитическим путем.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 08.02.2016, 15:19 --

XelMed
Если Вам нужна литература - убирайте систему, спрашивайте о литературе для решения систем сравнений по модулю. Если хотите оставить систему - приводите попытки решения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Sender]

XelMed в сообщении #1097855 писал(а):

1) Что я делаю не так? (при подстановке в систему оба ответа подходят)

Взгляните попристальнее на оба ответа. Чем они отличаются, ни на какие мысли не наводит?

[XelMed]

Sender в сообщении #1098057 писал(а):

Чем они отличаются, ни на какие мысли не наводит?

хм, то есть поскольку $-1\equiv 4 \pmod 5 $ не имеет значение как записать ответ?
в принципе логично, остаются еще 2 вопроса.

[Someone]

Собственно, какая разница, какое именно поле?

[XelMed]

Someone в сообщении #1098061 писал(а):

Собственно, какая разница, какое именно поле?

то есть при простом модуле все работает так же?

[iifat]

XelMed в сообщении #1097855 писал(а):

за место деления в данном случае надо использовать умножение на обратный элемент

Данный случай совершенно ни при чём. Использовать вместо деления умножение на обратный элемент вы можете всегда. Возможно, есть исключения, но что-то навскидку ничего не припомню.

[Someone]

XelMed в сообщении #1098062 писал(а):

то есть при простом модуле все работает так же?

Как минимум элементарная ("школьная") алгебра работает одинаково во всех полях.

[XelMed]

спасибо всем, разобрался.