Задача на вероятность (карты)

[timtam]

Ребенок принес из школы, а я как-то сходу решить и не могу
Задача:
Стандартная колода 32 карты (по 4 карты с тузов до семерок)
4 играющих
Карты сдаются последовательно по одной до окончания колоды (т.е. по окончании раздачи каждый из игроков получит 8 карт)
Вопрос: Какова вероятность того, что один из игроков не получит ни одного туза?
P.S. (подумал, что вопрос можно переформулировать так: какова вероятность, что каждая четвертая карта последовательно взятая из колоды будет не туз)

Я рассуждал так:
Вероятность неполучения туза при первой раздаче $1-4/32$
Хотя, как мне кажется, это тоже некое упрощение алгоритма вычисления, ведь в данном случае не учитывается в какой последовательности игроки получают карты и справедливо это утверждение только если интересующий нас игрок получает карту первым.
Если он получает карту вторым, то возможны 2 варианта:
-первый игрок получил "не туза" - тогда интересующий нас игрок не получит туза с вероятностью $1-4/31$
-первый игрок получил туза и тогда интересующий нас игрок не получит туза с вероятностью $1-3/31$

Аналогично если игрок получает карту третьим
(поскольку в случае получения туза игроками 1 и 2 неважно какой именно из них получил туза)
возможны 3 варианта:
-первый и второй игроки получили "не туза" - тогда интересующий нас игрок не получит туза с вероятностью $1-4/30$
-первый и второй игроки получили туза - тогда интересующий нас игрок не получит туза с вероятностью $1-2/30$
-первый (или второй) игрок получил туза - тогда интересующий нас игрок не получит туза с вероятностью $1-3/30$

Далее 4 варианта:
-$1-4/29$
-$1-1/29$
-$1-3/29$
- и вариант, когда двое из трех игроков получили тузов $1-2/29$

начиная с пятой раздачи количество вариантов достигает максимума (благо тузов в колоде всего 4 )
Всего вариантов:
-$1-4/28$
-$1-0/28$
-$1-3/28$
-$1-2/28$
-$1-1/28$

Далее будет лишь уменьшаться знаменатель.

В моих рассуждениях, к сожалению, одна лишь логика и полное отсутствие использования формул теории вероятностей.
Подскажите пожалуйста по каким формулам

[mihailm]

Это событие обратное к тому, что все получат по тузу.

[dsge]

mihailm в сообщении #1097323 писал(а):

Это событие обратное к тому, что все получат по тузу.

В условии задачи не получит только один игрок.

[mihailm]

А ну да, можно понять условие как "ровно один не получит туза".

[timtam]

Чтобы не было разночтений назовем игроков A B C D
Вопрос задачи тогда можно сформулировать так:
Какова вероятность того, что по завершении раздачи игрок A не получит ни одного туза.
(при этом не определено с какого игрока начинается раздача)

[dsge]

Тогда это эквивалентно следующему: выбрать из 32-х карт 8, чтобы там не было 4-х фиксированных.

[mihailm]

timtam, ну и раздаем этому A восемь карт. Сколькими способами это можно сделать?

[provincialka]

timtam в сообщении #1097316 писал(а):

В моих рассуждениях, к сожалению, одна лишь логика и полное отсутствие использования формул теории вероятностей.

Если логика верная, так и слава богу!
Другое дело, и сами рассуждения можно сделать боле простыми. И "формулы" тут помогут.
Главное правило: решение начинается не с вероятностей, а с событий.
Вот, например, событие $A$ = "первый игрок получил 8 карт но не получил туза". Его можно свести к более простым: $A_1$ = "первая карта игрока не туз", $A_2$ = "вторая карта игрока не туз", ..., $A_8$ = "восьмая карта игрока не туз".
Как именно выражается $A$ через них? И какая формула теории вероятностей тут применяется?

[timtam]

mihailm в сообщении #1097342 писал(а):

timtam, ну и раздаем этому A восемь карт. Сколькими способами это можно сделать?

Скорее всего вы не внимательно прочитали условие задачи (в первом посте)
"Карты сдаются последовательно по одной до окончания колоды (т.е. по окончании раздачи каждый из игроков получит 8 карт)"
Т.е. в зависимости от того какую раздаваемую карту игрок А получит первой - четырьмя способами.

-- 06.02.2016, 16:49 --

provincialka в сообщении #1097361 писал(а):

timtam в сообщении #1097316 писал(а):

В моих рассуждениях, к сожалению, одна лишь логика и полное отсутствие использования формул теории вероятностей.

Если логика верная, так и слава богу!
Другое дело, и сами рассуждения можно сделать боле простыми. И "формулы" тут помогут.
Главное правило: решение начинается не с вероятностей, а с событий.
Вот, например, событие $A$ = "первый игрок получил 8 карт но не получил туза". Его можно свести к более простым: $A_1$ = "первая карта игрока не туз", $A_2$ = "вторая карта игрока не туз", ..., $A_8$ = "восьмая карта игрока не туз".
Как именно выражается $A$ через них? И какая формула теории вероятностей тут применяется?

$A_1$ = "первая карта игрока не туз" - это зависит от того, получали или нет тузов другие игроки

Цитата:

И какая формула теории вероятностей тут применяется?

Сдается мне, что не формула гиперраспределения.

[provincialka]

timtam в сообщении #1097370 писал(а):

Скорее всего вы не внимательно прочитали условие задачи (в первом посте)

Нет, мы прочитали. Мы просто переформулировали! На самом деле, совершенно неважно, в каком порядке и какие карты получат остальные игроки! Мы можем за ними просто не следить.

-- 06.02.2016, 19:01 --

Вот элементарный пример. На зачет вынесено 30 вопросов, студент знает из них 25. Какова вероятность того, что второй вытащенный им вопрос будет ему знаком? Считаем подробно.
1. Первый вопрос знаком, вероятность $\frac{25}{30}$. Осталось 29 вопросов, из них 24 известных. Вероятность вынуть известный в этих условиях -- $\frac{24}{29}$.
2. Первый вопрос не знаком, вероятность $\frac{5}{30}$. Осталось 29 вопросов, из них 25 известных. Вероятность вынуть известный в этих условиях -- $\frac{25}{29}$.

Полная вероятность равна $\frac{25}{30}\cdot\frac{24}{29}+\frac{5}{30}\cdot\frac{25}{29}=\frac{25(24+5)}{30\cdot 29}=\frac{25}{30}$. Вероятность точно такая же, как если бы мы вынимали этот билет первым!
Это немного непривычно, но совершенно верно: вероятность быть "хорошим" для каждого вопроса одинакова!

-- 06.02.2016, 19:03 --

timtam в сообщении #1097370 писал(а):

Сдается мне, что не формула гиперраспределения.

Разумеется, "распределение" тут ни при чём! Вы же не случайную величину изучаете...

[timtam]

Цитата:

Разумеется, "распределение" тут ни при чём! Вы же не случайную величину изучаете...

Я имел в виду
Гипергеометрическое распределение: Пусть имеется N предметов, из них M — помеченных. Наудачу вытаскивают n предметов. Какова вероятность, что среди вытащенных n предметов будет m помеченных?

-- 06.02.2016, 17:27 --

По поводу студента и билетов, которые он тянет все понятно.
Но он тянет билеты один, а не вчетвером. Соответственно и общее количество оставшихся билетов напрямую связано с количеством вытянутых.

[provincialka]

timtam
Неважно, один или вчетвером! В "моей" задаче можете считать, что первый билет вытянул кто-то другой! Важно, что мы не знаем, что именно ему попалось. А в "карточной" задаче это именно так.

[timtam]

Цитата:

На самом деле, совершенно неважно, в каком порядке и какие карты получат остальные игроки!

Мне это кажется очень странным.
Расмотрим вариант, когда тузы идут максимально быстро "мимо" игрока А
Вариант 1: Игрок А получает первую карту колоды (раздача четверке игроков начинается с него) и, соответственно, на втором круге раздачи игрок А получает свою вторую карту (пятую карту колоды)
Тогда вероятность того , что игрок не получит туза за два круга раздачи
$(1-4/32)(1-1/28)$ т.е. 0,84375

Вариант 2: Игрок А получает четвертую карту колоды ( раздача четверке игроков заканчивается на нем) и, соответственно, на втором круге раздачи игрок А получает свою вторую карту (восьмую карту колоды)
Тогда вероятность того , что игрок не получит туза за два круга раздачи
$(1-1/29)\cdot1$ т.е. 0,96552 (округленно)

[provincialka]

Не понимаю, что это за вероятности... Я же предложила вам

provincialka в сообщении #1097361 писал(а):

Главное правило: решение начинается не с вероятностей, а с событий.

Вот что за событие имеет вероятность $1-\frac{4}{32}$ (видимо "первый не-туз"). А у какого события вероятность $1-\frac{1}{28}$?

И что такое "идут максимально быстро"? То есть выпадают первыми? Но это о-очень частный случай! И вероятность тут получается другая: условная.

[timtam]

Цитата:

А у какого события вероятность $1-\frac{1}{28}$

Ну я не знаю как еще подробнее описать обычную раздачу карт на четверых
Такая вероятность не получить туза на втором круге раздачи (с учетом того, что на первом круге ушли три туза)

Цитата:

Но это о-очень частный случай! И вероятность тут получается другая: условная.

Если существует вероятность такого события и она отлична от нуля, нельзя не рассматривать такой вариант.
И еще, это для меня что-то новое условная вероятность
И, кстати, три тысячных процента не такая уж и "о-очень" маленькая величина.