Бруски соединенные пружиной.

[stedent076]

Munin
Не про ОТО, а про математический анализ.

-- 06.02.2016, 16:50 --

Mihr
Это у меня с рождения. Нервная система такая.
$E=\dfrac{1}{2}\cdot(\dfrac{m_2^2m_1h^2}{(m_1+m_2)^2}\cdot \dfrac{k}{m_1}+\dfrac{m_2m_1^2h^2}{(m_1+m_2)^2}\cdot\dfrac{k}{m_1})$

[Mihr]

stedent076,
не переживайте. Просто старайтесь быть внимательней.
Теперь всё что можно вынесите за скобки.

[stedent076]

Mihr
$E=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{h^2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\cdot\dfrac{k}{m_1}\cdot(m_2+m_1)= \dfrac{h^2m_2k}{2(m_1+m_2)}$

[Mihr]

stedent076,
славно. Мы уже практически у цели.
Итак, напоминаю, что это не просто кинетическая энергия системы, а её полная механическая энергия (поскольку в этот момент времени пружина не деформирована, и потенциальная энергии упругой деформации равна нулю).
Далее система совершает гармонические колебания.
Как же теперь, зная полную механическую энергию осциллятора, найти максимальную величину деформации пружины?

[stedent076]

Mihr
Полная энергия механических колебаний $E=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2$ где $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.Наверное нам нужно найти $x =A \cos(\omega t + \varphi)$

[Mihr]

stedent076,
всё гораздо проще.
В процессе гармонических колебаний потенциальная и кинетическая энергия осциллятора постоянно "перетекают" друг в друга.
Представьте себе эти колебания в системе отсчёта, связанной с центром масс осциллятора. В этой СО грузы всегда движутся в разные стороны: то друг от друга, удлиняя пружину, то навстречу друг другу, укорачивая её. В момент, когда пружина максимально деформирована, мгновенная скорость грузов равна нулю. Значит, вся механическая энергия осциллятора в этот момент сосредоточена в виде энергии упругой деформации пружины.
Поэтому можно написать уравнение... Какое?

[stedent076]

Mihr

$E=\dfrac{h^2m_2k}{2(m_1+m_2)}=\dfrac{kx^2}{2}$ коэффициент упругости сократится, и можно явно будет выразить $x$, что и будет ответом. Правильно?

[Mihr]

stedent076, именно так.

Если интересно, и если не устали, рекомендую обратиться к svv с просьбой показать свой вариант решения (он прислал мне в ЛС). После того, как задача решена, можно решить её другим способом и сравнить результат.

[svv]

(Оффтоп)

В момент, когда отпускают и второй брусок, легко найти полную энергию $E=E_0$ и импульс $p=p_0$ системы. В дальнейшем эти величины сохраняются:
$\begin{array}{l}\frac 1 2 m_1 v_1^2+\frac 1 2 m_2 v_2^2+\frac 1 2 kh^2=E_0 \\m_1 v_1+m_2 v_2=p_0\end{array}$
Здесь $v_1, v_2, h$ — переменные величины, функции времени.

В момент, когда деформация максимальна $h=h_{\max}$, скорости обоих брусков равны: $v_1=v_2$, иначе бруски продолжают удаляться или приближаться друг к другу. Вот с помощью этого условия и выразим $h_{\max}$ через $E_0, p_0$.

[stedent076]

Mihr
Очень благодарен Вам за такой полный разбор задачи и потраченное время. Кстати, можно ли найти ускорение второго бруска, если продифференцировать скорость по времени?
svv
Интересное решение, спасибо!

[Mihr]

stedent076, пожалуйста.
Насчёт ускорения - я плохо понял Ваш вопрос. Ускорение всегда равно производной скорости по времени. Значит, если бы мы нашли для какого-то бруска его скорость как функцию времени, тогда мы легко нашли бы и ускорение, как функцию времени (путём дифференцирования).
Но мы в процессе решения указывали лишь мгновенные значения скоростей брусков. Эти значения дифференцировать бессмысленно.

[stedent076]

Mihr
Есть просто аналогичная задачка, где нужно найти максимальное ускорение второго бруска в процессе движения. Можно установить, например, зависимость ускорения от времени и потом найти ее максимум?

[Mihr]

stedent076?
если Вы сможете установить зависимость ускорения от времени, то дальше чисто математическими средствами найдёте и максимум ускорения. (Или скорости? Вы написали "ее максимум").
В разобранной задаче речь, по сути, шла о гармонических колебаниях (после того, как второй груз отпускают, система участвует в двух движениях: равномерное перемещение центра масс и колебания грузов вокруг центра масс). При гармонических колебаниях не только координата груза, но и её производная любого порядка по времени изменяются по гармоническому закону.

[stedent076]

Mihr
Максимум ускорения. Тогда, может быть: $a(t)=-\omega^2x(t)$

[Mihr]

stedent076 в сообщении #1097377 писал(а):

может быть: $a(t)=-\omega^2x(t)$

Да, так.