Составление уравнения в частных производных

[Vince Diesel]

Не очень понятно, к чему это, но если гладкая функция удовлетворяет уравнению $f_x-a f_t=0$, то она удовлетворяет и волновому уравнению $f_{xx}-a^2 f_{tt}=0$.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096599 писал(а):

Не очень понятно, к чему это

Просто в учебниках по теории управления (см. например, под. ред. Нетушила) звено запаздывания представляется как частное решение волнового уравнения.

Vince Diesel в сообщении #1096599 писал(а):

но если гладкая функция удовлетворяет уравнению $f_x-a f_t=0$, то она удовлетворяет и волновому уравнению $f_{xx}-a^2 f_{tt}=0$.

Как-то не совсем очевидно. А как это показать?

[svv]

Подействуйте на обе части уравнения $\frac{\partial f}{\partial x}-a\frac{\partial f}{\partial t}=0$ оператором $\frac{\partial }{\partial x}+a\frac{\partial}{\partial t}$.

[prof.uskov]

svv в сообщении #1096769 писал(а):

Подействуйте на обе части уравнения $\frac{\partial f}{\partial x}-a\frac{\partial f}{\partial t}=0$ оператором $\frac{\partial }{\partial x}+a\frac{\partial}{\partial t}$.

Да, спасибо.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096588 писал(а):

Чтобы получить вторую производную по $t$ можно рассмотреть уравнение $F_n(p)=W^n(p^2/n)F_0(p)$. Ну или еще можно так переписать $F_n(p)=W^n(p/\sqrt n)F_0(p)$.

А как показать, что это так?

Как получить вторую производную по $x$?

[Vince Diesel]

prof.uskov в сообщении #1096827 писал(а):

А как показать, что это так?

Предположим, что $W(p)=1+a p+o(p)$, $p\to0$. Тогда при $x=j/n$ аналогично тому, что было написано выше

$$\lim_{n\to\infty}W^j(p^2/n)=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+ap^2/n+o(1/n)\right)^{n}\right]^{j/n}=e^{a p^2 x},$$

откуда $f(x,p)=e^{a p^2 x}F_0(p)$. Дифференцируя по $x$ и беря обратное преобразование Лапласа, получим $f_x=af_{tt}$.

prof.uskov в сообщении #1096827 писал(а):

Как получить вторую производную по $x$?

Если вот это

Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):

$f(x,p)=e^{apx}F_0(p)$

дважды продифференцировать по $x$, получится $f_{xx}(x,p)=a^2p^2e^{apx}F_0(p)=a^2p^2f(x,p)$, что и даст волновое уравнение.

[prof.uskov]

Спасибо. С волновым уравнением приблизительно понятно.
А в случае уравнения теплопроводности как быть?

[Vince Diesel]

В предыдущем сообщение оно же и есть.

[prof.uskov]

Еще мне не совсем понятна корректность вот этих действий post1096539.html#p1096539
В формуле (4) справа изображения по Лапласу, почему при переходе к оригиналам (6) соотношения остаются верными?

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{F(p)/(1+pT)-F(p)}{\Delta x}$ (4)
С учетом (2) и (3) при $ n\rightarrow\infty$ получим:
$\frac{\partial f}{\partial x}=-pF(p)$ (5)
Переходя к оригиналам приходим к УЧП:
$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$ (6)