2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение03.02.2016, 23:33 
Не очень понятно, к чему это, но если гладкая функция удовлетворяет уравнению $f_x-a f_t=0$, то она удовлетворяет и волновому уравнению $f_{xx}-a^2 f_{tt}=0$.

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 16:34 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1096599 писал(а):
Не очень понятно, к чему это

Просто в учебниках по теории управления (см. например, под. ред. Нетушила) звено запаздывания представляется как частное решение волнового уравнения.
Vince Diesel в сообщении #1096599 писал(а):
но если гладкая функция удовлетворяет уравнению $f_x-a f_t=0$, то она удовлетворяет и волновому уравнению $f_{xx}-a^2 f_{tt}=0$.

Как-то не совсем очевидно. А как это показать?

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 17:04 
Аватара пользователя
Подействуйте на обе части уравнения $\frac{\partial f}{\partial x}-a\frac{\partial f}{\partial t}=0$ оператором $\frac{\partial }{\partial x}+a\frac{\partial}{\partial t}$.

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 17:56 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1096769 писал(а):
Подействуйте на обе части уравнения $\frac{\partial f}{\partial x}-a\frac{\partial f}{\partial t}=0$ оператором $\frac{\partial }{\partial x}+a\frac{\partial}{\partial t}$.

Да, спасибо.

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 21:00 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1096588 писал(а):
Чтобы получить вторую производную по $t$ можно рассмотреть уравнение $F_n(p)=W^n(p^2/n)F_0(p)$. Ну или еще можно так переписать $F_n(p)=W^n(p/\sqrt n)F_0(p)$.

А как показать, что это так?

Как получить вторую производную по $x$?

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 21:30 
prof.uskov в сообщении #1096827 писал(а):
А как показать, что это так?

Предположим, что $W(p)=1+a p+o(p)$, $p\to0$. Тогда при $x=j/n$ аналогично тому, что было написано выше

$$\lim_{n\to\infty}W^j(p^2/n)=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+ap^2/n+o(1/n)\right)^{n}\right]^{j/n}=e^{a p^2 x},$$

откуда $f(x,p)=e^{a p^2 x}F_0(p)$. Дифференцируя по $x$ и беря обратное преобразование Лапласа, получим $f_x=af_{tt}$.

prof.uskov в сообщении #1096827 писал(а):
Как получить вторую производную по $x$?

Если вот это
Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):
$f(x,p)=e^{apx}F_0(p)$

дважды продифференцировать по $x$, получится $f_{xx}(x,p)=a^2p^2e^{apx}F_0(p)=a^2p^2f(x,p)$, что и даст волновое уравнение.

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 22:08 
Аватара пользователя
Спасибо. С волновым уравнением приблизительно понятно.
А в случае уравнения теплопроводности как быть?

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение04.02.2016, 22:31 
В предыдущем сообщение оно же и есть.

 
 
 
 Re: Составление уравнения в частных производных
Сообщение05.02.2016, 14:18 
Аватара пользователя
Еще мне не совсем понятна корректность вот этих действий post1096539.html#p1096539
В формуле (4) справа изображения по Лапласу, почему при переходе к оригиналам (6) соотношения остаются верными?

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{F(p)/(1+pT)-F(p)}{\Delta x}$ (4)
С учетом (2) и (3) при $ n\rightarrow\infty$ получим:
$\frac{\partial f}{\partial x}=-pF(p)$ (5)
Переходя к оригиналам приходим к УЧП:
$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$ (6)

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group