Запись элемента группы Ли в виде экспоненты

[Brukvalub]

Metford
, скачайте в сети лекции лекции Шапиро, в них есть достаточно простые объяснения начал групп и алгебр Ли.

[Munin]

Metford в сообщении #1096754 писал(а):

Как по виду матрицы можно сказать, что она не может быть представлена в экспоненциальной форме, мне пока что непонятно.

Мне тоже, но я попытался извлечь хотя бы квадратный корень, и получил $\varnothing$ решений.

alcoholist
Всё-таки интересно, а при чём тут компактность, сюръективность, и почему не накрытием.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1096807 писал(а):

Metford в сообщении #1096754 писал(а):

Как по виду матрицы можно сказать, что она не может быть представлена в экспоненциальной форме, мне пока что непонятно.

Мне тоже, но я попытался извлечь хотя бы квадратный корень, и получил $\varnothing$ решений.

Собственные значения экспоненты от матрицы равны экспонентам от собственных значений исходной матрицы, и, следовательно, положительны. И обратно. Если собственные значения матрицы положительны, то от неё можно взять логарифм. (Речь идёт о действительных матрицах).

-- Чт фев 04, 2016 21:44:21 --

мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):

(Речь идёт о действительных матрицах).

Для комплексных тоже. См. Кострикин. Линейная алгебра. Пар. 7.1. Теорема 6.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):

Если собственные значения матрицы положительны, то от неё можно взять логарифм. (Речь идёт о действительных матрицах).

Как взять логарифм?

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #1096823 писал(а):

Как взять логарифм?

Функции от матриц рассатриваются в Гантмахере (Теория матриц). Через жорданову форму. Сейчас поищу подробности.

-- Чт фев 04, 2016 21:54:32 --

мат-ламер в сообщении #1096824 писал(а):

Функции от матриц рассатриваются в Гантмахере (Теория матриц). Через жорданову форму. Сейчас поищу подробности.

Чего-то Гантмахера не нашёл на этом компьютере. По памяти. Функция от жодановой клетки - на диагонали - функция от собственных чисел. На наддиагонали - производные и т.д. Типа ряда Тейлора. Только несколько первых членов (смотря какой размер клетки). Но это по памяти. Подробностей не помню.

-- Чт фев 04, 2016 21:56:21 --

мат-ламер в сообщении #1096824 писал(а):

Через жорданову форму.

Но есть и другие способы. (Допустим, через интерполяционные многочлены).

[Brukvalub]

Вот как раз в Гантмахере и написано, что положительность всех собственных чисел не является необходимым условием для логарифмирования вещественной матрицы.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):

Если собственные значения матрицы положительны, то от неё можно взять логарифм.

Brukvalub в сообщении #1096829 писал(а):

Вот как раз в Гантмахере и написано, что положительность всех собственных чисел не является необходимым условием для логарифмирования вещественной матрицы.

Про необходимое условие я не говорил. А что насчёт достаточности? Гантмахер на другом компьютере. Завтра разберусь.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #1096830 писал(а):

Про необходимое условие я не говорил.

Что же означает вот это высказывание:

мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):

Собственные значения экспоненты от матрицы равны экспонентам от собственных значений исходной матрицы, и, следовательно, положительны.

?

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #1096834 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1096830 писал(а):

Про необходимое условие я не говорил.

Что же означает вот это высказывание:

мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):

Собственные значения экспоненты от матрицы равны экспонентам от собственных значений исходной матрицы, и, следовательно, положительны.

?

Я сначала предположил про действительность матриц. Потом от этого отказался, и зря. Кострикин меня смутил. Там рассматривались матрицы над полем комплексных чисел. Но я забыл, что писал про положительность. Над полем комплексных чисел положительность надо заменить на "отличие от нуля". Подробности завтра продумаю.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1096807 писал(а):

почему не накрытие

$SO_3$ диффеоморфно проективному пространству. Оно не накрывается $\mathbb{R}^3$ по топологическим причинам.

[Munin]

Дык накрывать-то надо сферой.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1096873 писал(а):

Дык накрывать-то надо сферой.

но алгебра -- линейное пространство

[g______d]

мат-ламер в сообщении #1096839 писал(а):

Я сначала предположил про действительность матриц. Потом от этого отказался, и зря. Кострикин меня смутил. Там рассматривались матрицы над полем комплексных чисел. Но я забыл, что писал про положительность. Над полем комплексных чисел положительность надо заменить на "отличие от нуля". Подробности завтра продумаю.

Тут думать особенно нечего. Чтобы определить $f(A)$, достаточно, чтобы $f$ была голоморфна в окрестности спектра (т. е. множества собственных значений) матрицы $A$. Определять можно, например, через интеграл типа Коши. Впрочем, это эквивалентно определению через жорданову форму.

Если спектр не содержит нуля, то существет нужная аналитическая ветвь логарифма.

-- Чт, 04 фев 2016 15:43:30 --

Дальше, например, можно рассмотреть отображение из $\mathfrak su(2,\mathbb C)$ в $SU(2)$ вида $A\mapsto \exp{A}$ и понять, почему оно не является накрытием. Неплохое упражнение.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1096891 писал(а):

но алгебра -- линейное пространство

Ага. А окрестность единицы в группе - не линейное (если сама группа неабелева). Это важно?

[alcoholist]

Munin в сообщении #1096953 писал(а):

Ага. А окрестность единицы в группе

гомеомерфна шару, который гомеоморфен $\mathbb{R}^n$