Геометрическая оптика

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1096453 писал(а):

Ок, так что сохраняется? Вектор Пойнтинга, или странная величина в $\mu$ раз меньше него?

Если $\varepsilon,\mu$ константы, то какая разница? Если же они переменные то надо попробовать найти переменный коэффициент $\sigma$ и тензор $T_{jk}$, т.ч.

$$\partial (\kappa S_j)+\partial _k T_{kj}=0.$$

Вовсе не факт, что существуют

Гуглинг conservation of momentum of electromagnetic field даёт множество ссылок но похоже что везде есть условие однородности среды

-- 03.02.2016, 09:41 --

Вообще говоря тема ушла с самого начала от геометрической оптики в анализ уравнений Максвелла.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1096464 писал(а):

Если $\varepsilon,\mu$ константы, то какая разница?

Дык разумеется, не константы.

Red_Herring в сообщении #1096464 писал(а):

Гуглинг conservation of momentum of electromagnetic field даёт множество ссылок но похоже что везде есть условие однородности среды

Не надо так уж тупо. Разумеется, в серьёзных ссылках среда неоднородная.

-- 03.02.2016 17:57:15 --

Правда, мне вспоминается проблема с неоднозначностью определения импульса в среде. Но здесь-то речь не об импульсе, а об энергии.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1096488 писал(а):

Но здесь-то речь не об импульсе, а об энергии.

С энергией всё ясно. Даже в неоднородной и анизотропной среде она сохраняется:

\begin{equation*} \partial_t \mathcal{E} + \nabla \cdot \mathbf{S}=0, \qquad \mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H} \end{equation*}

и вектор Пойнтинга это поток энергии.

Munin в сообщении #1096488 писал(а):

Не надо так уж тупо. Разумеется, в серьёзных ссылках среда неоднородная.

Найдите хотя бы одну (с тем, чтобы речь шла о сохранении векторной величины пропорциональной $\mathbf{S}$

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1096499 писал(а):

Найдите хотя бы одну

Ландау-Лифшиц подойдёт? Не второй, так восьмой.

-- 03.02.2016 18:17:24 --

В неоднородной среде, конечно, никакого сохранения импульса нет, потому что есть давление света. Но если его учесть как слагаемое - то всё есть.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1096501 писал(а):

В неоднородной среде, конечно, никакого сохранения импульса нет, потому что есть давление света. Но если его учесть как слагаемое - то всё есть.

Но Вы же спрашивали сохраняется ли вектор Пойнтинга, м.б. на что-то умноженный.

[Munin]

А вы почему-то искали momentum.

[AnatolyBa]

По моему в этой теме недоразумение связано с далеко идущими выводами из упрощенных формул (где, в частности полагается изначально $\mu=\operatorname{const}$)
У Борна-Вольфа это все расписано подробно и без упрощений (т.е. с гораздо меньшими упрощениями)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1096540 писал(а):

А вы почему-то искали momentum.

Нет. рассматривал в точности вектор Пойнтинга, который отвечает потоку энергии. Потому что основой для меня было условие неразрывности для плотности энергии. А в Гугле я действительно искал импульс, потому что думал что это одно и то же. Впрочем, если я ищу Consevation of Poynting Vector , то получаю сохранение энергии; а если "Consevation of Poynting Vector" то вообще ничего хорошего

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1096552 писал(а):

вообще ничего хорошего

Неудивительно, потому что conservation :-)

AnatolyBa в сообщении #1096549 писал(а):

По моему в этой теме недоразумение связано с далеко идущими выводами из упрощенных формул (где, в частности полагается изначально $\mu=\operatorname{const}$)

Мне тоже так кажется, но лень проверять.

[amon]

Тут уже, по-моему, все всё поняли, но хочу тоже поучаствовать ;)
Стартуем с микроскопических уравнений Максвелла:

$$ \begin{align} \operatorname{div}\mathbf{E}&=4\pi(\rho_i+\rho_e)\\ \operatorname{rot}\mathbf{B}&=\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}+\frac{4\pi}{c}(\mathbf{j}_i+\mathbf{j}_e)\\ \operatorname{rot}\mathbf{E}&=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\\ \operatorname{div}\mathbf{B}&=0 \end{align} $$

Индексы $i$ и $e$ соответствуют внутренним и внешним величинам. Введя $\rho_i=-\operatorname{div}\mathbf{P}$ получим, что $j_i=\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}+c\operatorname{rot}\mathbf{M}$. При этом в токе запутываются как $P$, так и $M$. Дальше стандартно $\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi\mathbf{P}$ и $\mathbf{H}=\mathbf{B}-4\pi\mathbf{M}$. Поскольку в линейном отклике $\mathbf{P}$ и $\mathbf{M}$ линейно зависят от напряженностей, то получаем стандартное $\mathbf{D}=\hat{\varepsilon}\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}=\hat{\mu}\mathbf{H}$ ($\hat{\varepsilon}$ и $\hat{\mu}$ - некие линейные операторы).

Можно, однако, действовать с тем же успехом, но по-другому. Введем вектор $\mathfrak{D}=\mathbf{E}+4\pi\int\limits_{-\infty}^{t}j_i\;dt$, и определим $\mathfrak{P}=\int\limits_{-\infty}^{t}j_i\;dt$. Тогда все старые формулы сохраняться, если в них положить $\mathfrak{D}=\hat{\epsilon}\mathbf{E}$ и $\hat{\mu}=1$ (естественно, $\hat{\epsilon}\ne\hat{\varepsilon}$). Ясно, что и с вектором Пойнтинга проблем быть не должно, если правильно пересчитать эпсилоны. Первый способ любят радиоинженеры, а второй - оптики (не все ;).

[DimaM]

Насколько я понимаю, в электродинамике сплошных сред (куда должна относиться и оптика) полагают для усредненных по ансамблю значений

$${\bf M}\equiv 0,\quad\dfrac{\partial {\bf D}}{\partial t}=\dfrac{\partial {\bf E}}{\partial t}+4\pi{\bf j},\quad\operatorname{div}{\bf D}=4\pi\rho_s.$$

Здесь ${\bf j}$ - ток среды, а $\rho_s$ - плотность сторонних зарядов.
При этом ${\bf B}={\bf H}$ и $\hat{\mu}=\delta_{\alpha\beta}$.

[amon]

DimaM в сообщении #1096586 писал(а):

полагают для усредненных по ансамблю значений ${\bf M}\equiv 0$

Не, дело в неоднозначности перехода от микроскопики к макроскопике. Величина ${\bf M}$ имеет ясный смысл (магнитный момент) только в квазистатике, а на больших частотах он теряется. С другой стороны мой $\hat{\epsilon}$ - тензор даже для однородной и изотропной среды, что не всегда удобно.

[DimaM]

amon в сообщении #1096589 писал(а):

Не, дело в неоднозначности перехода от микроскопики к макроскопике. Величина ${\bf M}$ имеет ясный смысл (магнитный момент) только в квазистатике, а на больших частотах он теряется.

Я ровно о том же. Только другими словами.

[amon]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #1096592 писал(а):

Я ровно о том же.

Виноват. Старый стал, соображаю медленно, а по клавишам стучу быстро.

[Evgeniy Petrovich]

Спасибо за ответы! Но у меня еще остался вопрос. Стартуем с волнового уравнения для $H$, тогда, после стандартных преобразований, как легко убедиться, в приближении ГО будет сохраняться величина, отличающаяся от вектора Пойнтинга на $\varepsilon$, который не есть $1$. Но ВП сохраняться должен в любом приближении, как же быть?