Случаются ли в математике «чудеса»?

[Ktina]

Словарь Даля даёт понятию чуда следующее определение:
«всякое явленье, кое мы не умеем объяснить, по известным нам законам природы».

Чем, в таком случае, вот этот шедерв - не чудо?

Число

$$1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+6^6+7^7+8^8+9^9+10^{10}$$

является простым!

(Оффтоп)

Любопытно, а кто-нибудь до меня обратил на это внимание?

[Dmitriy40]

Красиво!
Интересно что $s=\sum\limits_{k=1}^{n}k^k$ является простым только для $n=2, 5, 6, 10, 30$. Есть ли ещё такие числа?
Хм, сначала программкой проверил числа до $n=1000$ и только потом пришло в голову поискать в OEIS - и там оно есть, A073825! Люди аж до $n=28000$ проверили и продолжения не нашли ...

(Оффтоп)

Т.е. внимание получается обратили, да.

[Dmitriy40]

Чудо ещё и в том, что ни сумма $k^1$, ни $k^2$, ни $k^3$, ни $k^4$, ни $k^5$, ни $k^6$, ни $k^7$, ни $k^8$, ни $k^9$, ни $k^{10}$ - не дают ничего даже близко красивого. Максимум - одно простое число ($s(n=2)=1^1+2^w$) и всё, да и то лишь для степеней $w=1, 2, 4, 8$ (и очевидно дальше по степеням двойки). А вот степень именно $k$ даёт аж 5 простых чисел.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[fractalon]

Чудес в сформулированном вами смысле в математике нет, потому что математика в принципе не опирается ни на какие законы природы.
Математика, если глубоко копнуть, - наука о следствиях, наука о моделях, существование которых в каком-либо мире не предполагается обязательным для рассмотрения их законов и закономерностей. И у арифметики есть своя система аксиом и есть строгое определение простого числа, которыми можно объяснить ваш факт, а не "законами природы".

(Оффтоп)

Мне вообще кажется, что математика в этом смысла уникальна как наука - что не опирается ни на какие законы мира. И именно это её и возвеличивает. Она никогда не "сломается" в отличие от любой другой. (ну, о философии здесь много можно размышлять...)

-- 29.01.2016, 23:59 --

Вот если бы число $S(n)=\sum \limits_{k=1}^{n} {k^k}$ было бы простым для ну очень очень большого $n$ с немыслимыми оценками снизу типа числа Грэма, и при этом было бы единственным простым среди чисел вида $S(n)$ (или хотя бы одним из очень немногих), то вот это лично я назвал бы самым настоящим Чудом. Мне такое встречать пока не приходилось.
Интересно, натыкался кто-то на такие "чудеса"?

[stedent076]

Парадокс Банаха-Тарского, например, гласящий о том, грубо говоря, что апельсин равносоставлен(две фигуры равносоставлены, если их можно разбить на части и установить такое взаимно-однозначное соответствие между частями одной и другой фигуры так, что соответственные части равны) бесконечному количеству апельсинов. А вообще в математике чудес не бывает из-за структуры этой науки. Есть только такие парадоксы, в корне противоречащие нашей интуиции, что можно назвать чудом в обывательском смысле. Я бы назвал чудом саму возможность постижения математики человеческим разумом.Кстати,Садовничий говорил, что эта наука– средство связи между материальным и духовным миром.

[gris]

stedent076, это действительно, сказано грубо. Обыватель не увидит никакого парадокса. Он разобьёт каждый апельсин на точки, а взаимно-однозначное соответствие между интервалами разной длины не противоречит бытовой интуиции.

[arseniiv]

stedent076 в сообщении #1095208 писал(а):

Я бы назвал чудом саму возможность постижения математики человеческим разумом.

Весьма странно, если вспомнить, что математика полностью создана людьми.

[Vince Diesel]

Ktina в сообщении #1094957 писал(а):

Словарь Даля даёт понятию чуда следующее определение:
«всякое явленье, кое мы не умеем объяснить, по известным нам законам природы».

Ну, теперь можно предложить и другую интерпретацию. Вероятность того, что число порядка $~10^{10}$ является простым около $1/(10\ln10)\approx 0.04$, что не очень мало.

[DiviSer]

как вариант - числа Ферма при $n=1,2,3,4$ оказываются простыми а при $n>4$ (для всех проверенных) - составные.

[Alex_J]

Чудо в том, что рациональных чисел, понятных и очевидных для многих, бесконечно мало по сравнению со всем множеством чисел

[arseniiv]

(Если всем множеством чисел считать само множество рациональных чисел $\mathbb Q$, то ничуть не бесконечно мало, а ровно столько же. А порой $\mathbb Q$ и хватает.)

[Alex_J]

arseniiv

Да, есть такой подход в математике: всё, что недостижимо на практике, считать не заслуживающим внимания. Есть даже особый термин.

-- 12.02.2016, 23:25 --

Такое чудо я откопал как-то раз и затем посвятил немало времени его изучению.
Рекуррентная последовательность $x_{n+1}=x_{n}-x^{-1}_{n}$ ведёт себя апериодически, имеет циклические (а значит, периодические) случаи, и так и не найден явный вид $x(n)$, хотя наработки определённо есть, особенно что касается обратной последовательности. Есть целая тема об этом.
Обратная последовательность $y_m$ имеет бесконечное число ветвей, т.к. на каждой итерации выбирается знак + или -, и число возможных значений на каждой итерации растёт как $2^m$. Ну и там много ещё фишек.
В пределе $y_m\to\sqrt{2m}$.
Более общие случаи (например, $x_{n+1}=a x_n - \frac{b}{c+x_n}$) имеют мало интересного сверх того, что есть у исходной последовательности. Разве что, при некоторых значениях параметров наблюдается более "спокойное" поведение значений с редкими "всплесками". Но это - то, что показывает моделирование, а легко видеть, что довольно быстро погрешности даже при использовании формата double начинают влиять решающим образом на поведение ряда. С каждой итерацией число цифр рациональной дроби, если считать строго, растёт в 2 раза. Даже мощный сервер осилит не больше 50 точных итераций. Такие дела...

[Мастак]

arseniiv в сообщении #1095241 писал(а):

stedent076 в сообщении #1095208 писал(а):

Я бы назвал чудом саму возможность постижения математики человеческим разумом.

Весьма странно, если вспомнить, что математика полностью создана людьми.

имхо, эта фраза равносильна фразе о то, что человек сам себя создал (свое сознание тоже)