Иррациональные числа на доске

[Ktina]

На доске записаны несколько иррациональных чисел. Известно, что для любых двух чисел $a$ и $b$, записанных на доске, хотя бы одно из чисел $\dfrac{a}{b}+1$ и $\dfrac{b}{a}+1$ рационально. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
( А. Голованов)
Источник задачи:
http://webcache.googleusercontent.com/s ... clnk&gl=il (самая первая сверху)

Вроде, счётное множество таких чисел не проблема подобрать. Не пойму, что мешает взять, к примеру, все числа вида $n\pi$, где $n\in\mathbb{N}$
Остаётся доказать, что нельзя записать континуум чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Хотя, можно и континуум (и даже больше!), ведь в условии не сказано, что числа не могут быть одинаковыми. Например, напишем континуум чисел $\pi$.
Так каков же тогда ответ на задачу?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

[atlakatl]

Из условия также вытекает задача: придумайте такие $a$ и $b$, чтобы $a/b+1$ было рациональным, а $b/a+1$ - иррациональным. У меня не получается.

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1094739 писал(а):

хотя бы одно из чисел $\dfrac{a}{b}+1$ и $\dfrac{b}{a}+1$ рационально.

Разве они не всегда оба одинаково рациональны или нет?! Т.е. достаточно и одного условия.

[Heart-Shaped Glasses]

Dmitriy40, так вроде atlakatl и намекал на то, что "хотя бы одно число" автоматически влечет "оба числа", что как-то немного странно в плане такой постановки задачи, ИМХО.

[quartermind]

Вообще-то, очевидно, что числа $\dfrac{a}{b}+1$ и $\dfrac{b}{a}+1$ одновременно являются либо рациональными, либо иррациональными. Это наталкивает на мысль, что топикстартер неправильно понял условие задачи и надо (по крайней мере, интереснее) рассматривать числа вида $\dfrac{a}{b+1}$ и $\dfrac{b}{a+1}$.

А в такой постановке, как тут, больше счётного количества попарно различных чисел на быть не может, так как всем разным числам, выписанным на доске, можно приписать разные рациональные числа. (Вопрос к Ktina: какие?)

UPD. Если глянуть по ссылке TeXовский исходник внизу страницы, то можно увидеть, что действительно имелись в виду $\frac{a}{b+1}$ и $\frac{b}{a+1}$.
Поэтому, Ktina, если вы ещё заинтересованы, для начала сами рассмотрите все возможные варианты в случае двух, трёх (и, возможно, дальше) записанных на доске чисел.

[Dmitriy40]

quartermind в сообщении #1094752 писал(а):

надо (по крайней мере, интереснее) рассматривать числа вида $\dfrac{a}{b+1}$ и $\dfrac{b}{a+1}$.

Вообще-то разницы никакой, эти числа тоже одновременно являются (ир)рациональными. Разумеется за исключением тривиального случая равенства нулю $a$ или $b$.

[NSKuber]

Dmitriy40
$a=\pi$, $b=\pi - 1$?

[Dmitriy40]

Мда. Понимаю. Был не прав.

[Ktina]

quartermind в сообщении #1094752 писал(а):

А в такой постановке, как тут, больше счётного количества попарно различных чисел на быть не может, так как всем разным числам, выписанным на доске, можно приписать разные рациональные числа. (Вопрос к Ktina: какие?)

А почему не натуральные?

[svv]

Наверное, имелось в виду, что...

(Оффтоп)

одно из чисел $a$ считается «эталонным», и тогда каждому выписанному числу $b$ (включая и эталонное) ставится в соответствие рациональное число $\frac b a$

[quartermind]

Ktina в сообщении #1094784 писал(а):

А почему не натуральные?

Множества натуральных и рациональных чисел равномощны, так что действительно, почему я хочу использовать вторые именно в этой задаче?

(Оффтоп)

svv, конечно, прав.

[DeBill]

Ответ: 3 ?
Давайте условие " $\frac{a}{b+1}$ - рационально " изображать стрелочкой, идущей из $a$ в $b$. Тогда каждая пара чисел соединена стрелочкой (а может, и двумями..). Пусть чисел 4. Тогда стрелочек 6, и в какое-то число (в $c$) приходит пара стрелочек (из $a$ и $b$). Тогда $c+1 = pa, c+1=bq$ для некоторых рациональных $p,q$. Тогда $pa=bq$, так что $\frac{a}{b}$ рационально. Но $a$ и $b$ тоже соединены стрелочкой, что противоречит их иррациональности...
Ну, а пример на три - легко: $\sqrt{2},\sqrt{2}-1,-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.

[quartermind]

DeBill, а почему вопросительный знак? Всё верно, я так же решил.