2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 02:49 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На доске записаны несколько иррациональных чисел. Известно, что для любых двух чисел $a$ и $b$, записанных на доске, хотя бы одно из чисел $\dfrac{a}{b}+1$ и $\dfrac{b}{a}+1$ рационально. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
( А. Голованов)
Источник задачи:
http://webcache.googleusercontent.com/s ... clnk&gl=il (самая первая сверху)

Вроде, счётное множество таких чисел не проблема подобрать. Не пойму, что мешает взять, к примеру, все числа вида $n\pi$, где $n\in\mathbb{N}$
Остаётся доказать, что нельзя записать континуум чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Хотя, можно и континуум (и даже больше!), ведь в условии не сказано, что числа не могут быть одинаковыми. Например, напишем континуум чисел $\pi$.
Так каков же тогда ответ на задачу?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 04:21 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Из условия также вытекает задача: придумайте такие $a$ и $b$, чтобы $a/b+1$ было рациональным, а $b/a+1$ - иррациональным. У меня не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 04:31 
Заслуженный участник


20/08/14
11065
Россия, Москва
Ktina в сообщении #1094739 писал(а):
хотя бы одно из чисел $\dfrac{a}{b}+1$ и $\dfrac{b}{a}+1$ рационально.
Разве они не всегда оба одинаково рациональны или нет?! Т.е. достаточно и одного условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 05:02 
Аватара пользователя


11/01/13
292
Dmitriy40, так вроде atlakatl и намекал на то, что "хотя бы одно число" автоматически влечет "оба числа", что как-то немного странно в плане такой постановки задачи, ИМХО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 05:37 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Вообще-то, очевидно, что числа $\dfrac{a}{b}+1$ и $\dfrac{b}{a}+1$ одновременно являются либо рациональными, либо иррациональными. Это наталкивает на мысль, что топикстартер неправильно понял условие задачи и надо (по крайней мере, интереснее) рассматривать числа вида $\dfrac{a}{b+1}$ и $\dfrac{b}{a+1}$.

А в такой постановке, как тут, больше счётного количества попарно различных чисел на быть не может, так как всем разным числам, выписанным на доске, можно приписать разные рациональные числа. (Вопрос к Ktina: какие?)

UPD. Если глянуть по ссылке TeXовский исходник внизу страницы, то можно увидеть, что действительно имелись в виду $\frac{a}{b+1}$ и $\frac{b}{a+1}$.
Поэтому, Ktina, если вы ещё заинтересованы, для начала сами рассмотрите все возможные варианты в случае двух, трёх (и, возможно, дальше) записанных на доске чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 08:08 
Заслуженный участник


20/08/14
11065
Россия, Москва
quartermind в сообщении #1094752 писал(а):
надо (по крайней мере, интереснее) рассматривать числа вида $\dfrac{a}{b+1}$ и $\dfrac{b}{a+1}$.
Вообще-то разницы никакой, эти числа тоже одновременно являются (ир)рациональными. Разумеется за исключением тривиального случая равенства нулю $a$ или $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 08:30 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Dmitriy40
$a=\pi$, $b=\pi - 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 09:11 
Заслуженный участник


20/08/14
11065
Россия, Москва
Мда. Понимаю. Был не прав.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 11:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
quartermind в сообщении #1094752 писал(а):
А в такой постановке, как тут, больше счётного количества попарно различных чисел на быть не может, так как всем разным числам, выписанным на доске, можно приписать разные рациональные числа. (Вопрос к Ktina: какие?)

А почему не натуральные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 13:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Наверное, имелось в виду, что...

(Оффтоп)

одно из чисел $a$ считается «эталонным», и тогда каждому выписанному числу $b$ (включая и эталонное) ставится в соответствие рациональное число $\frac b a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение28.01.2016, 15:42 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Ktina в сообщении #1094784 писал(а):
А почему не натуральные?
Множества натуральных и рациональных чисел равномощны, так что действительно, почему я хочу использовать вторые именно в этой задаче?

(Оффтоп)

svv, конечно, прав.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение03.02.2016, 01:38 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ответ: 3 ?
Давайте условие " $\frac{a}{b+1}$ - рационально " изображать стрелочкой, идущей из $a$ в $b$. Тогда каждая пара чисел соединена стрелочкой (а может, и двумями..). Пусть чисел 4. Тогда стрелочек 6, и в какое-то число (в $c$) приходит пара стрелочек (из $a$ и $b$). Тогда $c+1 = pa, c+1=bq$ для некоторых рациональных $p,q$. Тогда $pa=bq$, так что $\frac{a}{b}$ рационально. Но $a$ и $b$ тоже соединены стрелочкой, что противоречит их иррациональности...
Ну, а пример на три - легко: $\sqrt{2},\sqrt{2}-1,-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа на доске
Сообщение05.02.2016, 23:25 
Аватара пользователя


31/03/13
25
DeBill, а почему вопросительный знак? Всё верно, я так же решил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group