Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1092687 писал(а):

с целью наибольшего удобства рассуждений о "гармоническом дуализме" я решил не жадничать и дать на звуко-высотность и интервало-широтность не одну, а две взаимно-ортогональные оси

Это ещё не так страшно как другое:

Свободный Художник в сообщении #1092687 писал(а):

В принятом мною подходе рациональные и иррациональные числа геометрически интерпретируются рациональными и иррациональными лучами на плоской квадратной целочисленной решетке точек. Причем рациональные лучи последовательно строятся при помощи двух дуальных друг к другу преобразований сдвига $V$ и $H$ из рационального луча, отвечающего интервалу унисона: http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 50&page=13
(постинг номер 126 на указанной странице)

Не смею настаивать, но переназовите функции $V$ и $H$ пока не поздно. Мне, например, было бы естественнее их называть $o$[ber/ver] и $u$[nter/nder].

Усиливается, похоже, всеобщая склонность в рассуждениях о музыке называть горизонтальными её мелодические свойства, а вертикалными ― гармонические, что в дальнейшем не будет способствовать безмятежному существованию Вами опекаемых операций под именами, инакотрактующими музыкальную горизонталь-вертикальность.

[commator]

commator в сообщении #1092815 писал(а):

Это ещё не так страшно как другое:

Свободный Художник в сообщении #1092687 писал(а):

из рационального луча, отвечающего интервалу унисона:
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=93250&page=13&p=1362911&viewfull=1#post1362911

Исправлена неработающая ссылка в цитате.

[Свободный Художник]

Как, наверное, легко стало бы жить, если бы все проблемы решались путем переименований...
Я принял к сведению Ваше замечание, но сейчас мне важна сУщностная сторона дела, а она, я надеюсь, пока понятна и без переименований (в свете сделанных пояснений).
Два измерения позволяют естественным образом визуализировать расслоение пространства $R$ элементарных звучий:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html
где в качестве расслаивающего отображения выступает функция, реализуемая калькулятором из пункта 1 со страницы:
http://www.px-pict.com/10/4/4/1.html
Я буду использовать стандартную терминологию для расслоений, которая приведена, например, здесь:
http://www.px-pict.com/9/4/6/1/2/1.html
http://www.px-pict.com/9/4/5.html

-- Чт янв 21, 2016 23:53:58 --

Значит, пространством расслоения будет множество всех упорядоченных пар натуральных чисел, а его базой -- множество все строк в алфавите из двух символов $V$ и $H$, о котором я уже писал здесь:

Свободный Художник в сообщении #174000 писал(а):

Чтобы записать “законы роста” из предыдущего поста в виде универсальных предложений, нужно спустить фигурирующие там строки символов в алфавите $\{V, H\}$ с мета-уровня на объектный уровень.
Для этого естественно расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, заставив действовать на ее множестве-носителе $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ свободную полугруппу строк
$\mathbf{S_{\, V, H}} = \langle \, \{V, H\}^+,\, \cdot \, \rangle$,
где $\{V, H\}^+$ есть множество всех строк в алфавите $\{V, H\}$,
$\cdot$ есть операция конкатенации строк (которую при записи термов будем, как правило, опускать).

-- Чт янв 21, 2016 23:56:47 --

Тогда мы могли бы сказать в духе Аристотеля, что две упорядоченные пары натуральных чисел пропорциональны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же антанаиресис.
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/3/3.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1093033 писал(а):

легко стало бы жить, если бы все проблемы решались путем переименований...

А были бы проблемы без вечной нужды в переименованиях?

Бытие 2:19 писал(а):

Господь Бог образовал из земли всех животных полевых и всех птиц небесных, и привел к человеку, чтобы видеть, как он назовет их, и чтобы, как наречет человек всякую душу живую, так и было имя ей.

Сам-то увильнул от столь тяжкого и ответственного труда как Чёткое Наименование (Just Nomination).

[Свободный Художник]

Для теории музыки Архита был важен способ, позволяющий сделать "составимыми" между собой два отношения $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$, изначально составимыми не являющиеся (т. е. $b \ne c$). Идея решения этой проблемы заключалась в замене исходных отношений $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ некоторыми пропорциональными им отношениями, которые бы были уже составимыми между собой. Один из способов сделать это приведен у Б. Л. ван дер Вардена в подстрочном примечании **) :
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
Апелляция к построениям, связанных с антанаиресисом, позволяет сделать это без использования операции умножения натуральных чисел. Идея этого визуализирована здесь:
http://www.px-pict.com/7/2/2/1.html

Свободный Художник в сообщении #1093033 писал(а):

...Тогда мы могли бы сказать в духе Аристотеля, что две упорядоченные пары натуральных чисел пропорциональны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же антанаиресис.
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/3/3.html

[Свободный Художник]

Пусть символ $\propto$ будет использоваться далее для обозначения отношения пресуппозиции для частичной бинарной операции $\otimes$ "составления" упорядоченных пар натуральных чисел. Это отношение пресуппозиции могло бы быть названо "отношением (непосредственной) составимости упорядоченных пар натуральных чисел". Его определение:
$\dfrac{a}{b} \propto \dfrac{c}{d} \quad iff \quad b = c$.

Свободный Художник в сообщении #1087639 писал(а):

Поскольку группоидная операция группоида Брандта $\mathbf{R_n}$ (операция "составления" упорядоченных пар натуральных чисел) является частичной, а не всюду определенной бинарной операцией, то нам будет удобно озаботиться еще введением для нее соответствующего "отношения пресуппозиции" -- некоторого бинарного отношения "составимости" упорядоченных пар натуральных чисел. По аналогии с тем, как это было сделано здесь для других частичных бинарных операций:
http://www.px-pict.com/9/6/4/5/1/1.html

-- Пт янв 29, 2016 23:53:02 --

Свободный Художник в сообщении #1094520 писал(а):

Для теории музыки Архита был важен способ, позволяющий сделать "составимыми" между собой два отношения $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$, изначально составимыми не являющиеся (т. е. $b \ne c$).

Мы видим три архитовы системы в самом начале "Extended list of tone systems" от Галушки:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/3.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1093033 писал(а):

Два измерения позволяют естественным образом визуализировать расслоение пространства $R$ элементарных звучий:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html
где в качестве расслаивающего отображения выступает функция, реализуемая калькулятором из пункта 1 со страницы:
http://www.px-pict.com/10/4/4/1.html
Я буду использовать стандартную терминологию для расслоений, которая приведена, например, здесь:
http://www.px-pict.com/9/4/6/1/2/1.html
http://www.px-pict.com/9/4/5.html
Значит, пространством расслоения будет множество всех упорядоченных пар натуральных чисел, а его базой -- множество все строк в алфавите из двух символов $V$ и $H$, о котором я уже писал здесь:

Свободный Художник в сообщении #174000 писал(а):

Чтобы записать “законы роста” из предыдущего поста в виде универсальных предложений, нужно спустить фигурирующие там строки символов в алфавите $\{V, H\}$ с мета-уровня на объектный уровень.
Для этого естественно расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, заставив действовать на ее множестве-носителе $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ свободную полугруппу строк
$\mathbf{S_{\, V, H}} = \langle \, \{V, H\}^+,\, \cdot \, \rangle$,
где $\{V, H\}^+$ есть множество всех строк в алфавите $\{V, H\}$,
$\cdot$ есть операция конкатенации строк (которую при записи термов будем, как правило, опускать).

-- Чт янв 21, 2016 23:56:47 --

Тогда мы могли бы сказать в духе Аристотеля, что две упорядоченные пары натуральных чисел пропорциональны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же антанаиресис.
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/3/3.html

Будем записывать это расслоение (обозначив его через $\mathbf{\rho}$) в следующем виде:
$\mathbf{\rho} = < \mathrm{R}, Ant, \{V, H\}^{*} >$,
где $\mathrm{R}$ есть множество всех упорядоченных пар натуральных чисел;
$\{V, H\}^{*}$ есть множество всех строк в алфавите из двух символов $V$ и $H$, включая и пустую строку (которую далее будем обозначать E); это стандартное обозначение для такого множества, см., например:
http://www.px-pict.com/9/5/2/2/1.html
(пункт 2 на указанной странице);
$Ant: \mathrm{R} \to \{V, H\}^{*}$ есть "расслаивающе отображение", реализуемое калькулятором из пункта 1 со страницы:
http://www.px-pict.com/10/4/4/1.html
Название расслаивающего отображения $Ant$ выбрано, чтобы подчеркнуть его связь с алгоритмом antanairesis, о котором написано у Б. Л. ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/1.html
Таким образом, например, $Ant(3/2) = HV$, $Ant(5/3) = HVH$, $Ant(5/5) = E$.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1094520 писал(а):

Для теории музыки Архита был важен способ, позволяющий сделать "составимыми" между собой два отношения $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$, изначально составимыми не являющиеся (т. е. $b \ne c$). Идея решения этой проблемы заключалась в замене исходных отношений $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ некоторыми пропорциональными им отношениями, которые бы были уже составимыми между собой. Один из способов сделать это приведен у Б. Л. ван дер Вардена в подстрочном примечании **) :
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
Апелляция к построениям, связанных с антанаиресисом, позволяет сделать это без использования операции умножения натуральных чисел. Идея этого визуализирована здесь:
http://www.px-pict.com/7/2/2/1.html

В формулах это может выглядеть так. Пусть имеются две дроби $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$, не находящиеся между собой в отношении непосредственной составимости.

Свободный Художник в сообщении #1095171 писал(а):

Пусть символ $\propto$ будет использоваться далее для обозначения отношения пресуппозиции для частичной бинарной операции $\otimes$ "составления" упорядоченных пар натуральных чисел. Это отношение пресуппозиции могло бы быть названо "отношением (непосредственной) составимости упорядоченных пар натуральных чисел". Его определение:
$\dfrac{a}{b} \propto \dfrac{c}{d} \quad iff \quad b = c$.

То есть имеет место, что $\neg \left(\dfrac{a}{b} \propto \dfrac{c}{d}\right)$.
Требуется найти такие две дроби $\dfrac{a'}{b'}$ и $\dfrac{c'}{d'}$, что дробь $\dfrac{a'}{b'}$ пропорциональна дроби $\dfrac{a}{b}$, дробь $\dfrac{c'}{d'}$ пропорциональна дроби $\dfrac{c}{d}$ и дробь $\dfrac{a'}{b'}$ находится в отношении непосредственной составимости с дробью $\dfrac{c'}{d'}$, то есть имеет место, что
$\left(\dfrac{a'}{b'} \propto \dfrac{c'}{d'}\right)$.
С использованием введенной выше расслаивающей функции $Ant$ решение может быть таким:
$\dfrac{a'}{b'} = \left[Ant\left(\dfrac{a}{b}\right)\right] * VQ\left(\dfrac{c}{d}\right)$;
$\dfrac{c'}{d'} = \left[Ant\left(\dfrac{c}{d}\right)\right] * HQ\left(\dfrac{a}{b}\right)$.
Операции $VQ$ и $HQ$ были определены здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html
Операция $*$ действия строки на дробь была определена здесь:

Свободный Художник в сообщении #174000 писал(а):

... Т. е. расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ до системы
$\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}} = \langle \, \mathbf{S_{\, V, H}} \, ,\, \mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}\,, \, * \, \rangle$,
где $*$ есть операция “действия”:
для любых чисел $x, y$, принадлежащих $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ и для любой строки $\varphi$, принадлежащей $\{V, H\}^+$,
запись $y = \varphi * x$ означает, что число $y$ является результатом действия строки $\varphi$ на число $x$.

Смысл операции $*$ действия определяется смыслом определенных в предыдущих постах операторов $V$ и $H$; например, если $x = 2/3$ и $\varphi = HV$, то $\varphi * x = HV*(2/3) = H(V(2/3)) = 7/5$.

-- Вс янв 31, 2016 23:53:32 --

Работы Кэтлин Шлезингер могут быть очень полезными при исследовании "гармонического дуализма". На них ссылается и Парч.
http://nakedlight.co.uk/the-work-of-kat ... -hamilton/
http://nakedlight.co.uk/scores-of-piece ... -hamilton/

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1095670 писал(а):

Работы Кэтлин Шлезингер могут быть очень полезными при исследовании "гармонического дуализма". На них ссылается и Парч.

Да, есть у него одна такая ссылка, которая целой книги стоит:

Парч 1974 писал(а):

¹⁰ Огден говорит постоянно о "законе равных интервалов," как будто иррациональные числа темперации удовлетворяли жажду в человеческом животном и были не только целесообразными, чтобы преодолеть препятствие, что человеческое животное развило не более десяти пальцев. Слух, 151, 157, 158, и в других местах. Положение Шлезингер, что равномерно расположенные отверстия на авлосе удовлетворяли зрительное желание и, также удовлетворяли слуховое желание в чётких рациональных числах Арифметических Пропорций, ставит предмет человеческих желаний на целиком другой, более достоверный уровень.

(English)

¹⁰ Ogden speaks constantly of the "law of egual intervals," as though the surds of temperament satisfied a hunger in the human animal and were not merely an expedient to overcome the handicap that the human animal developed no more than ten fingers. Hearing, 151, 157, 158, and passim. The Schlesinger thesis, that the equally spaced holes on the aulos satisfied a visual desire and, providentially, also satisfied an aural desire in the just ratios of the Arithmetical Proportions, puts the matter of human desires on an entirely different and more credible plane.

[Свободный Художник]

Меня там больше впечатлила Diagram 27: The Ancient Harmoniai According to Schlesinger
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/14/1/4/18/6.html
Она ясно показывает, что введенное расслоение:

Свободный Художник в сообщении #1095389 писал(а):

Будем записывать это расслоение (обозначив его через $\mathbf{\rho}$) в следующем виде:
$\mathbf{\rho} = < \mathrm{R}, Ant, \{V, H\}^{*} >$,
где $\mathrm{R}$ есть множество всех упорядоченных пар натуральных чисел;
$\{V, H\}^{*}$ есть множество всех строк в алфавите из двух символов $V$ и $H$, включая и пустую строку (которую далее будем обозначать E); это стандартное обозначение для такого множества, см., например:
http://www.px-pict.com/9/5/2/2/1.html
(пункт 2 на указанной странице);
$Ant: \mathrm{R} \to \{V, H\}^{*}$ есть "расслаивающе отображение", реализуемое калькулятором из пункта 1 со страницы:
http://www.px-pict.com/10/4/4/1.html
Название расслаивающего отображения $Ant$ выбрано, чтобы подчеркнуть его связь с алгоритмом antanairesis, о котором написано у Б. Л. ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/1.html
Таким образом, например, $Ant(3/2) = HV$, $Ant(5/3) = HVH$, $Ant(5/5) = E$.

будет очень к месту в подобных рассмотрениях, поскольку оно позволяет четко отличать, например, $\dfrac{6}{12}$ от $\dfrac{3}{6}$ и т. д.

-- Ср фев 03, 2016 23:54:06 --

Ancient Harmoniai:
https://en.wikipedia.org/wiki/Musical_s ... ent_Greece
https://en.wikipedia.org/wiki/Mode_(music)
очень интересны, если взглянуть на них как на основу для творчества Царлино по модусам:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/00.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1096594 писал(а):

четко отличать, например, $\dfrac{6}{12}$ от $\dfrac{3}{6}$ и т. д.

Отличать такие дроби действительно необходимо, если они отображаются в область звуковых ощущений. По этой причине для музыкального применения они скорее двойственные номера домов (нельзя сокращать), чем рациональные числа (сокращать можно).

26.01.2016 мне удалось, наконец выделить из машинного времени последовательность упомянутых домовых номеров, моделирующую бросание пары цветных икосаэдров ради автоматического вычисления материала для превращения случайно выпадаюших результатов в организованное движение ДГП (двойственной гармонии провидения). С тех пор вручную выкладываю из добытого массива самозвучащую пятнадцатиголосную партитуру, где в каждой вертикали работает не более 6-ти голосов, пока; получается не более 6-ти только из-за стремления не использовать натуральные более 20-ти и не сокращать дроби, что выпали случайным образом. Из массива выбираются только сонанты со свойством порождать различаемые слухом тональные функции для выражающих одинаковую суть, казалось бы, рациональных чисел, которые не одинаковы вовсе, будучи номерами домов.

Выходит не оскорбляющий слух, как будто, перебор всяческих тональных функций в границах ЧИП19, что будет предъявлено после доведения партитуры до момента, который даст ощущение естественной остановки движения.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1095817 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1095670 писал(а):

Работы Кэтлин Шлезингер могут быть очень полезными при исследовании "гармонического дуализма". На них ссылается и Парч.

Да, есть у него одна такая ссылка, которая целой книги стоит...

Ссылок на самом деле больше (посмотрел по Index книги):
Aulos, Schlesinger's work with, 315n; harmoniani on, 447; "undertone series" on, 451 - 452.
Kathleen Schlesinger, ratios of 13 used by, 92, 93, 447 (see also Greek harmoniai); harmonia on instruments, 101, 103; hexatonic scale by, 178; work of, 315n, 456; the Greek Aulos, 396, 447.
Я думал, Вас особенно заинтересует параграф "Schlesinger on "Undertones"":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/14/1/4/18/8.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1096846 писал(а):

Я думал, Вас особенно заинтересует параграф "Schlesinger on "Undertones"": http://www.px-pict.com/7/3/2/1/14/1/4/18/8.html

Так 10-я ссылка на стр. 447 именно об унтертонах как основе всей древнегреческой музыки, от которой пляшет по сей день вся прочая музыка, включая и западную и восточную* её ветви. Изложено предельно лаконично, ясно и в пересказе Парча, кто несомненно сие с большим теплом воспринял.


*) Турецкий исследователь мне рассказал в третье моё посещение индийского симпозиума, что опорой их музыкальной теории всегда была древнегреческая, а тетрахордовая комбинаторика индийской музыкальной системы указывает на то, что греки со времён македонских фаланг оставили в Индии не только в изобразительном искусстве неизгладимые отпечатки своей культуры.

Один тонкость: вся восточная ветвь никогда не позволила себе отказаться физически от энгармонических микротонов, а западная до этой халатности докатилась. Последствия в виде очагов чудовищных эпидемий глобальной агрессивности возникают на вооружённом до зубов Западе, а не на ленивом базарном Востоке.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

Читая вместе с Вами Парча, остаюсь приверженцем того, что в теории музыки должна существовать чисто арифметико-геометрическая "сердцевина", относительно независимая от акустики.

commator в сообщении #1063245 писал(а):

Как раз об этом думаю последние пару дней...

Давайте попробуем сменить "главного психолога" в музыкально-теоретической сердцевине. То есть, давайте попробуем вместо Гельмгольца поставить на это место Жана Пиаже, как я уже предлагал ранее:
На “психоакустику” у нас имеется другая “психо-”. А именно, генетическая психология Ж. Пиаже:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 710&page=2
(постинги 18 и далее на указанной странице)

-- Пн фев 08, 2016 23:50:14 --

Нам особенно важно то, что Пиаже сделал главной "фишкой" своего подхода свойство обратимости рассматриваемых операций:
"В 30-х годах исследования Пиаже были связан с изучением операциональной стороны мышления. Он пришел к выводу о том, что развитие мышления тесно связано не с речью, а с развитием мыслительных операций, и разработал эксперименты для их изучения. В отличие от других ученых (Выготский, Штерн, Бюлер) Пиаже изучал процесс мышления, а не продукты мыслительной деятельности.

В этот период он также пришел к выводу, что психическое развитие связано с интериоризацией, так как первые мыслительные операции - внешние, сенсомоторные - впоследствии переходят во внутренний план, превращаясь в логические, собственно мыслительные операции. Пиаже также открыл главное свойство этих операций - их обратимость. Характеризуя понятие обратимости, Пиаже привел в качестве примера арифметические действия - сложение и вычитание, умножение и деление..."
http://psyera.ru/zhan-piazhe-bio.htm

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

в теории музыки должна существовать чисто арифметико-геометрическая "сердцевина", относительно независимая от акустики

Из-за психоакустики и обер/унтер двойственная психоматематика выглядит не столь красиво, как если бы без психо. Картину портят критические полосы, прежде всего; из-за них нельзя беззастенчиво унтерзеркалить любую обервертикаль.

Суть в том, что терция, например, оказывается для ощущения вертикально шероховатой внизу малой октавы и ниже, тогда как вверху этой же октавы и выше можно пытаться оспорить вертикальную шероховатость даже секунд, не говоря о её отсутствии у терций.

Музыкальная теория не отобразила этой особенности по вертикали, и утверждает: терции где угодно консонируют, несовершенно, правда, тогда как секунды у музтеоретиков диссонируют везде и безусловно. В то же время намёк на критические полосы в музыкальной теории просматривается горизонтально: строгий стиль позволяет в басу скачки голосоведения, недопустимые в сопрано.