2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 20:24 


14/01/11
2677

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1092902 писал(а):
В нежном возрасте я прочел книжку: Болтянский, Виленкин Симметрия в алгебре

Пролистывая сейчас эту книжку, обнаружил, что в я в нежном возрасте, оказывается, открыл формулу Варинга, но, кажется, не смог её доказать. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 22:30 


05/05/15
29
Так, книга вроде помогла сориентироваться что нужно делать, но я бы хотел удостовериться в том, что правильно понял что нужно было сделать.

Итак, есть такая система уравнений
$\begin{cases}
x + y + z = Summ \\
x^2 + y^2 + z^2 = squareSumm \\
x^3 + y^3 + z^3 = cubeSumm
\end{cases}
$

есть три основных симметричных многочлена для уравнений с тремя неизвестными
$
\sigma_1 = x + y + z
$
$
\sigma_2 = xy + xz + uz
$
$
\sigma_3 = xyz
$

Степенные суммы разложатся следующим образом:
$\sigma_1 = Summ$
$\sigma_2 = \frac{1}{2}(Summ^2 - squareSumm)$
$\sigma_3 = \frac{cubeSumm - \frac{3}{2}Summ(Summ^2 - squareSumm)}{3}$

итого, после подстановки значений получается такой вот монстр
$u^3 + Summ \cdot u^2 + \frac{1}{2}(Summ^2-squareSumm)u + \frac{cubeSumm - \frac{3}{2}Summ(Summ^2 - squareSumm)}{3}$

После чего остается решить это кубическое уравнение, корнями которого и будут решением системы уравнений.

Кажется так.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 23:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Sum всё-таки с одной m пишется… Потом, как было бы проще назвать их все одной-двумя буквами, да хоть бы $a, b, c$, если не нужно обобщение на произвольную степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Fennec,
уравнение получится тогда, когда Вы этого "монстра" приравняете к нулю. Это во-первых.
Во-вторых, когда Вы составляете уравнение согласно теореме Виета, знаки перед членами нужно чередовать. Вы этого не сделали.
В-третьих, проверьте на всякий случай свободный член предполагаемого уравнения. Мне кажется, он должен быть другим. (Хотя, возможно, это я ошибаюсь? Но лучше проверьте.)
В-четвёртых, полученными корнями кубического уравнения нужно будет ещё правильно распорядиться. Именно, переставить их между собою всеми возможными способами, чтобы получить решение исходной системы уравнений (а не просто вспомогательного уравнения).

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 01:24 


28/12/15
48
arseniiv в сообщении #1093038 писал(а):

(Оффтоп)

Sum всё-таки с одной m пишется… Потом, как было бы проще назвать их все одной-двумя буквами, да хоть бы $a, b, c$, если не нужно обобщение на произвольную степень.

Эти "много букфф" ещё одна причина сказать соискателю "Прощай."

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 13:26 


05/05/15
29
Да, похоже и правда опростоволосился с последним членом.

Вот полные выкладки:
$\\
x+y+z = \sigma_1 = S \\
x^2+y^2+z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = sS\\
x^3+y^3+z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = cS
$

откуда:
$\sigma_1 = S$

дальше:
$\\
\sigma_1^2 - 2\sigma_2 = sS \\
\sigma_2 = \frac{1}{2}(\sigma_1^2 - sS) \\
$

подставляем $\sigma_1$
$\sigma_2 = \frac{1}{2}(S^2 - sS)$

наконец:
$ \\
\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = cS \\
\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS - \sigma_1^3 + 3\sigma_1\sigma_2)
$

подставляем $\sigma_1$ и $\sigma_2$
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-S^3+\frac{3}{2}S^3(S^2-sS))$

С формулами Виета и правда сплоховал, поторопился.
в уравнение они войдут следующим образом:
$u^3-S\cdot u^2 + \frac{1}{2}(S^2 - sS)u - (\frac{1}{3}(cS-S^3+\frac{3}{2}S^3(S^2-sS))) = 0$

Покуда такое уравнение красиво не раскладывается на множители (по крайней мере с первого взгляда) похоже придется повозиться...

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Fennec,
что-то Вы опять напутали. Проверьте вывод для $\sigma_3$ ещё раз.
Fennec в сообщении #1093172 писал(а):
Покуда такое уравнение красиво не раскладывается на множители (по крайней мере с первого взгляда) похоже придется повозиться...

Оно в общем случае и не разложится. Возможность разложения на множители - это редкий случай (достигается при некоторых конкретных значениях параметров). Вообще, кубическое уравнение можно решать аналитически - по формулам Тартальи (чаще говорят: методом Кардано). Но реально от этих формул есть некоторый толк лишь тогда, когда дискриминант кубического уравнения неположителен. Вообще, считается, что практического значения метод Тартальи (Кардано) не имеет.
Однако кто Вам мешает находить корни кубического уравнения с любой нужной точностью, используя известные численные методы решения алгебраических уравнений?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 17:50 


05/05/15
29
Вот откуда высчитался $\sigma_3$
$\\
s_0 = x^0 + y^0 + z^0 = 1 + 1 + 1 = 3\\
s_1 = x^1 + y^1 + z^1 = \sigma_1\\
s_2 = x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 
$

Есть формула для степенных сумм:
$s_k = \sigma_1 s_{k-1} - \sigma_2 s_{k-2} + \sigma_3 s_{k-3}$

по ней карабкаемся к 3ей ступеньке
$\\
s_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2\sigma1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 2\sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 =\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 $

Вроде как с тем, что вижу в книге совпадает.

Еще несколько раз пересчитал свои подстановки - вроде все на месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Fennec в сообщении #1093245 писал(а):
$\\s_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2\sigma1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 2\sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 =\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 $

Вроде как с тем, что вижу в книге совпадает.

С этим я не спорю: здесь совпадает.
Но если отсюда выразить $\sigma_3$ - тоже совпадает с Вашим результатом?
Просто я вижу, что если в вашем уравнении
Fennec в сообщении #1093172 писал(а):
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-S^3+\frac{3}{2}S^3(S^2-sS))$

раскрыть внутренние скобки, там получится аж пятая степень $S$. Это тоже верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 19:14 


05/05/15
29
Я поступил следующим образом:
из исходного
$\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = cS$
выразил $\sigma_3$
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-\sigma_1^3 + 3\sigma_1\sigma_2)$
и в эту формулу поехали вычисленные на предыдущих этапах значения $\sigma_1 = S и $\sigma_2 = \frac{1}{2}(\sigma_1^2 - sS)$

$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-(S)^3 + 3(S)(\frac{1}{2}(\sigma_1^2 - sS)))$
ахалай-махалай
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-S^3 + \frac{3}{2}S(\sigma_1^2 - sS))$

Да, куб там лишний нарисовал в тот раз, но вот такая же запись была в самом начале...

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение22.01.2016, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Сейчас вроде правильно.
Fennec в сообщении #1093273 писал(а):
но вот такая же запись была в самом начале...

Не совсем такая. Коэффициент при $s_1^3$ там получался $-\frac12$, а теперь $+\frac16$. Некоторая разница есть... :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group