решение системы степенных уравнений

[Sender]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1092902 писал(а):

В нежном возрасте я прочел книжку: Болтянский, Виленкин Симметрия в алгебре

Пролистывая сейчас эту книжку, обнаружил, что в я в нежном возрасте, оказывается, открыл формулу Варинга, но, кажется, не смог её доказать.

[Fennec]

Так, книга вроде помогла сориентироваться что нужно делать, но я бы хотел удостовериться в том, что правильно понял что нужно было сделать.

Итак, есть такая система уравнений
$\begin{cases} x + y + z = Summ \\ x^2 + y^2 + z^2 = squareSumm \\ x^3 + y^3 + z^3 = cubeSumm \end{cases} $

есть три основных симметричных многочлена для уравнений с тремя неизвестными
$ \sigma_1 = x + y + z $
$ \sigma_2 = xy + xz + uz $
$ \sigma_3 = xyz $

Степенные суммы разложатся следующим образом:
$\sigma_1 = Summ$
$\sigma_2 = \frac{1}{2}(Summ^2 - squareSumm)$
$\sigma_3 = \frac{cubeSumm - \frac{3}{2}Summ(Summ^2 - squareSumm)}{3}$

итого, после подстановки значений получается такой вот монстр
$u^3 + Summ \cdot u^2 + \frac{1}{2}(Summ^2-squareSumm)u + \frac{cubeSumm - \frac{3}{2}Summ(Summ^2 - squareSumm)}{3}$

После чего остается решить это кубическое уравнение, корнями которого и будут решением системы уравнений.

Кажется так.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sum всё-таки с одной m пишется… Потом, как было бы проще назвать их все одной-двумя буквами, да хоть бы $a, b, c$, если не нужно обобщение на произвольную степень.

[Mihr]

Fennec,
уравнение получится тогда, когда Вы этого "монстра" приравняете к нулю. Это во-первых.
Во-вторых, когда Вы составляете уравнение согласно теореме Виета, знаки перед членами нужно чередовать. Вы этого не сделали.
В-третьих, проверьте на всякий случай свободный член предполагаемого уравнения. Мне кажется, он должен быть другим. (Хотя, возможно, это я ошибаюсь? Но лучше проверьте.)
В-четвёртых, полученными корнями кубического уравнения нужно будет ещё правильно распорядиться. Именно, переставить их между собою всеми возможными способами, чтобы получить решение исходной системы уравнений (а не просто вспомогательного уравнения).

[Cancre]

arseniiv в сообщении #1093038 писал(а):

(Оффтоп)

Sum всё-таки с одной m пишется… Потом, как было бы проще назвать их все одной-двумя буквами, да хоть бы $a, b, c$, если не нужно обобщение на произвольную степень.

Эти "много букфф" ещё одна причина сказать соискателю "Прощай."

[Fennec]

Да, похоже и правда опростоволосился с последним членом.

Вот полные выкладки:
$\\ x+y+z = \sigma_1 = S \\ x^2+y^2+z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = sS\\ x^3+y^3+z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = cS $

откуда:
$\sigma_1 = S$

дальше:
$\\ \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = sS \\ \sigma_2 = \frac{1}{2}(\sigma_1^2 - sS) \\ $

подставляем $\sigma_1$
$\sigma_2 = \frac{1}{2}(S^2 - sS)$

наконец:
$ \\ \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = cS \\ \sigma_3 = \frac{1}{3}(cS - \sigma_1^3 + 3\sigma_1\sigma_2) $

подставляем $\sigma_1$ и $\sigma_2$
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-S^3+\frac{3}{2}S^3(S^2-sS))$

С формулами Виета и правда сплоховал, поторопился.
в уравнение они войдут следующим образом:
$u^3-S\cdot u^2 + \frac{1}{2}(S^2 - sS)u - (\frac{1}{3}(cS-S^3+\frac{3}{2}S^3(S^2-sS))) = 0$

Покуда такое уравнение красиво не раскладывается на множители (по крайней мере с первого взгляда) похоже придется повозиться...

[Mihr]

Fennec,
что-то Вы опять напутали. Проверьте вывод для $\sigma_3$ ещё раз.

Fennec в сообщении #1093172 писал(а):

Покуда такое уравнение красиво не раскладывается на множители (по крайней мере с первого взгляда) похоже придется повозиться...

Оно в общем случае и не разложится. Возможность разложения на множители - это редкий случай (достигается при некоторых конкретных значениях параметров). Вообще, кубическое уравнение можно решать аналитически - по формулам Тартальи (чаще говорят: методом Кардано). Но реально от этих формул есть некоторый толк лишь тогда, когда дискриминант кубического уравнения неположителен. Вообще, считается, что практического значения метод Тартальи (Кардано) не имеет.
Однако кто Вам мешает находить корни кубического уравнения с любой нужной точностью, используя известные численные методы решения алгебраических уравнений?

[Fennec]

Вот откуда высчитался $\sigma_3$
$\\ s_0 = x^0 + y^0 + z^0 = 1 + 1 + 1 = 3\\ s_1 = x^1 + y^1 + z^1 = \sigma_1\\ s_2 = x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 $

Есть формула для степенных сумм:
$s_k = \sigma_1 s_{k-1} - \sigma_2 s_{k-2} + \sigma_3 s_{k-3}$

по ней карабкаемся к 3ей ступеньке
$\\ s_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2\sigma1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 2\sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 =\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 $

Вроде как с тем, что вижу в книге совпадает.

Еще несколько раз пересчитал свои подстановки - вроде все на месте.

[Mihr]

Fennec в сообщении #1093245 писал(а):

$\\s_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2\sigma1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 2\sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 =\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 $

Вроде как с тем, что вижу в книге совпадает.

С этим я не спорю: здесь совпадает.
Но если отсюда выразить $\sigma_3$ - тоже совпадает с Вашим результатом?
Просто я вижу, что если в вашем уравнении

Fennec в сообщении #1093172 писал(а):

$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-S^3+\frac{3}{2}S^3(S^2-sS))$

раскрыть внутренние скобки, там получится аж пятая степень $S$. Это тоже верно?

[Fennec]

Я поступил следующим образом:
из исходного
$\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = cS$
выразил $\sigma_3$
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-\sigma_1^3 + 3\sigma_1\sigma_2)$
и в эту формулу поехали вычисленные на предыдущих этапах значения $\sigma_1 = S и $\sigma_2 = \frac{1}{2}(\sigma_1^2 - sS)$

$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-(S)^3 + 3(S)(\frac{1}{2}(\sigma_1^2 - sS)))$
ахалай-махалай
$\sigma_3 = \frac{1}{3}(cS-S^3 + \frac{3}{2}S(\sigma_1^2 - sS))$

Да, куб там лишний нарисовал в тот раз, но вот такая же запись была в самом начале...

[Mihr]

Сейчас вроде правильно.

Fennec в сообщении #1093273 писал(а):

но вот такая же запись была в самом начале...

Не совсем такая. Коэффициент при $s_1^3$ там получался $-\frac12$, а теперь $+\frac16$. Некоторая разница есть...