Нахождение нормы оператора через матричное представление

[Pavel_NSU_GGF]

Пусть оператор $A \colon X\to Y$ и в выбранном базисе имеет матричное представление $A=(a_{ij})$. Пусть в $X$ задана векторная норма $\|\cdot\|_\infty$ , а в $Y$ - $\|\cdot\|_2 $. Как выражается норма оператора через матричное представление?
Решение:
$\| x \|_\infty = \max | x_i |$
$\| x \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{N} y_{j}^{2}}$
По определению $ \| A\|=\sup \| Ax \| $ при $ \| x\|\leq 1$
$\| x \| \leq 1 \Rightarrow \max | x_i | \leq 1 \Rightarrow | x_i | \leq 1$
$\| y \| = \| Ax\|= \sqrt{\sum_{i=1}^{N} y_{j}^{2}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{N} ({\sum_{j=1}^{N}a_{ij}x_j})^{2}} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{N} ({\sum_{j=1}^{N} | a_{ij}| \cdot | \max |x_j} | )^{2}} =\sqrt{\sum_{i=1}^{N} \max^{2} |x_j|({\sum_{j=1}^{N} |a_{ij}| )^{2}}}=\max|x_j|\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{N}({\sum_{j=1}^{N} |a_{ij}| )^{2}}} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{N}({\sum_{j=1}^{N} |a_{ij}| )^{2}}}$
В итоге мы построили оценку нормы оператора
$\sqrt{\sum_{i=1}^{N} ({\sum_{j=1}^{N}a_{ij}x_j})^{2}}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{N}({\sum_{j=1}^{N} |a_{ij}| )^{2}}}$
Чтобы доказать, что оценка является нормой нужно подставить в неравенство вектор, на котором достигается равенство
Если все $a_{ij}>0$, достаточно взять единичный вектор и равенство будет достигнуто, но у меня в условии они произвольные, и подобрать такой вектор в этом случае я не могу
Пробовал использовать неравенство Коши-Буняковского, не получается. Расписав,
$\sqrt{\sum_{i=1}^{N} ({\sum_{j=1}^{N}a_{ij}x_j})^{2}}\leq \sum_{i=1}^{N}\sqrt{(\sum_{j=1}^{N} |a_{ij}| )^{2}(\sum_{j=1}^{N} |x_{j}| )^{2}}$
вот все написано на бумаге. https://**invalid link**/i/p5pHCBlxj Помогите, пожалуйста, с решением, задача должна быть решена к понедельнику.

[Brukvalub]

На фото мятого листочка ничего не разобрать...

[Pavel_NSU_GGF]

сейчас, нормально сфотаю

[Brukvalub]

Pavel_NSU_GGF в сообщении #1091222 писал(а):

сейчас, нормально сфотаю

Не трудитесь, карантин вашей темы на пороге.

[Pavel_NSU_GGF]

Вот получше изображение там. https://**invalid link**/i/p5pHCBlxj
Я так понимаю, что я нашел норму для случая, когда aij>0.
Но у меня в условии они произвольные. И найти норму для такого случая я никак не могу, помогите, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»