Как взять этот интеграл аналитически ?

[oliva]

Цитата:

Да как угодно. Например, универсальной триг подстановкой. Это задача для первокурсника "на троечку".

Я прошу не слишком строго меня судить, я не профессиональный математик, но пришлось встрять.

Пришел к новому тупику
Правильно ли я рассуждал:

${\frac1_2\pi/w}\int_{0}^{2\pi/w} \cos (wx)/ (1+k\cos (wx))dx$

Делаю замену:
$ wx = f $

Получаю интеграл:
${\frac1_2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos (f)/ (1+k\cos (f))df$

Делаю универсальную триг подстановку:
$ \cos (f) = (1-t^2) / (1+t^2)$;

Получил:
${\frac1_\pi}\int_{0}^{0} {\frac{1-t^2}_{(1+t^2+k(1-t^2))(1+t^2)}}dt$

Что делать с пределами ?

[GAA]

Замена $t=\tan(x/2)$. Подумайте, что происходит при $x=\pi$.

[bot]

oliva писал(а):

Что делать с пределами ?

С этими уже ничего не сделаете - в этой универсальной подстановке Вы проскочили через бесконечное значение тангенса. Попробуйте разбить интервал интегрирования пополам и к каждому применить эту подстановку.
Впрочем, прежде чем это сделать, посмотрите на полученные интегралы внимательно.

[oliva]

GAA писал(а):

Замена $t=\tan(x/2)$. Подумайте, что происходит при $x=\pi$.

Да я вобщем-то понимаю, что получается разрывная функция на интервале интегрирования.
Не понятно только зачем мне насоветовали применять универсальную тригонометрическую подстановку как верный путь решения моих проблем, если она приводит к такому же нерешабельному интегралу

Добавлено спустя 6 минут 58 секунд:

bot писал(а):

Впрочем, прежде чем это сделать, посмотрите на полученные интегралы внимательно.

Что Вы имеете ввиду ?

Добавлено спустя 3 минуты:

bot писал(а):

Попробуйте разбить интервал интегрирования пополам и к каждому применить эту подстановку.

Тут, наверное, пределы (в смысле lim ) нужно находить ?

[bot]

Ну, начните с разбивания пополам и посмотрите нельзя ли простой подстановкой сделать эти интервалы одинаковыми?

[GAA]

Интегрировать от 0 до $\pi$, и удвоить.

Рассматриваемый интеграл является классическим примером к теме дифференцирование под знаком определенного интеграла. Указанная Brukvalub универсальная замена является канонической для вычисления данной производной.

[oliva]

GAA писал(а):

Интегрировать от 0 до $\pi$, и удвоить.

Т.е. значение в верхнем пределе нужно расчитывать как lim. Правильно я понял ?
И насчет удвоения, Вы в этом уверены ? Разве фактом является "симметричность" от 0 до $\pi$ и от $\pi$ до $2\pi$ ?

Цитата:

Рассматриваемый интеграл является классическим примером к теме дифференцирование под знаком

Если этот пример классический, может посоветуете книженцию Че-то я не полностью чувствую ход решения.

[GAA]

oliva писал(а):

...нужно расчитывать как lim. Правильно я понял ?

Да, как $\lim\limits_{x \to \pi-0}\tan(x/2) = \lim\limits_{z \to \pi/2-0}\tan(z)$.
Насчет удвоения уверен.

oliva писал(а):

Разве фактом является "симметричность" от 0 до $\pi$ и от $\pi$ до $2\pi$ ?

Это невозможно комментировать.

Книжку именно с Вашим примером не укажу, и, очень надеюсь, другие участники этого тоже не сделают. Но «сопряженный» к вашему примеру $\int_0^{\pi/2}\ln(a^2-\sin^2\theta) d\theta$ рассматривается в гл. XIV, §1, n.511 [1]. Неопределенный интеграл, используемый при вычислении производной, см., например, в гл. 7, §10, n.1 [2].

Ref.
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. ТII. — М.: Наука, 1966.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ТI. — М.: Наука, 1982.

[oliva]

Спасибо большое за ссылки, попробую разобраться.

GAA писал(а):

Это невозможно комментировать.

И все-таки, откуда у Вас глубокая уверенность в одинаковости функции от 0 до пи и от пи до 2пи. Если мы говорим о тангенсе от 0 до пи/2 и от пи/2 до пи, то то он как минимум имеет разный знак и "перевернут". А тут еще и разрывная функция! Объясните, пожалуйста

Блин, я кажется понял, там квадрат Но все равно не считаю это очевидным.

[bot]

Попробуйте простой заменой преобразовать интервал $(\pi, \ 2\pi)$ в $(0, \ \pi)$.
Один из двух способов, которые сразу на ум должны приходить, дадут то, что написал GAA (впрочем к этому же можно придти и по-другому), а другой - к несколько другому варианту.
Как знать, не захочется ли в этом варианте снова интервал пополам делить?

[Brukvalub]

bot писал(а):

С этими уже ничего не сделаете - в этой универсальной подстановке Вы проскочили через бесконечное значение тангенса. Попробуйте разбить интервал интегрирования пополам и к каждому применить эту подстановку.

Еще можно вспомнить, что т. Ньютона-Лейбница верна для обобщенной первообразной и "сшить" такую первообразную из кусочков.