Прошу помощи в разборе задач по анализу!

[lim]

Приветствую! Плохо знаю анализ, а светит экзамен... Прошу помощи в идеях задач:

а)Пусть $f,g$ непрерывны при $x\geqslant a$ и диффиренцируемы при $x > a$, причём $f(a)=g(a) \wedge f'(x)>g'(x) \forall\ x>a$. Показать, что $f(x)>g(x) \forall\ x>a$.

а) Думал использовать определение производной и посмотреть, что из этого выйдет... У меня не получилось, но в случае необходимости могу привести выкладки.

Появилась вот какая попытка, прошу верификации:

Пусть даны условия. Тогда раз где-то$x>a$, то можем рассмотреть отрезок $[a,m]; m>a$. Тогда запишем теорему Коши (для некоторой точки c из нашего промежутка): $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(m)-f(a)}{g(m)-g(a)}$. По условию $\frac{f'(c)}{g'(c)}>1=t \Rightarrow \frac{f(m)-f(a)}{g(m)-g(a)}>1 \Rightarrow f(m)-f(a)>g(m)-g(a)$. Но $f(a)=g(a)$. Тогда $f(m)-f(a)>g(m)-f(a)\Rightarrow f(m)>g(m)$. Это же доказательство можно провернуть за конечное число раз для любой точки, большей a. Этим и доказывается утверждение.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

По каждой задаче приведите попытки решения, пожалуйста. Содержательные.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Из неравенства в условии неравенство $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}>1$ не следует, делить надо аккуратнее.

И вообще. Рассмотрите разность функций.

[lim]

Otta, просто рассмотреть $f(x)-g(x); x>a$?

[gefest_md]

lim, да. И вспомните теорему, используемую при обычном исследовании функций.

[svv]

lim, когда введёте $h(x)=f(x)-g(x)$, покажите, как можно переформулировать условие задачи.

[lim]

svv
gefest_md

Получается, что если $h(x)=f(x)-g(x); \forall\ x > a$, то надо показать, что $h(x)>0$. Тогда $h(a)=0;\ h'(x)>0$, т.е. функция возрастает и положительна. Это и доказывает утверждение.

И ещё вопрос:
Можно ли дифференцировать суперпозицию двух функций, если одна из них не диффиренцируема? Вроде же нет, раз нет предела в этой точке.

-- 14.01.2016, 17:11 --

И ещё:
Пусть $f(0)=0$ и функция диффиренцируема в нуле. Найти $\lim_{h\to 0} h^{-1}\cdot [f(h)+f(h/2)+\dots +f(h/k)], k\in \mathbb{N}$
Если я умыслил, то ответ: $Ans=\sum_{i=1}^k \frac{f'(0)}{i}$

-- 14.01.2016, 17:42 --

gefest_md
Может у нас разные названия, но я не понимаю. Обычный алгоритм построения графика по заданной ФОРМУЛЕ:
Построить образ и прообраз, Стационарные точки, 2 производные со знаками, ассимптоты.

[gefest_md]

lim в сообщении #1090609 писал(а):

Можно ли дифференцировать суперпозицию двух функций, если одна из них не диффиренцируема? Вроде же нет, раз нет предела в этой точке.

Общая теорема рассматривает случай когда обе функции дифференцируемы в соответствующих точках. Но есть частные примеры: возьмём $g(y)=y^2$ и $f(x)=|x|$. Тогда $(g\circ f)(x)=x^2$ дифференцируема в точке $0$, хотя $f(x)$ - нет.

lim в сообщении #1090609 писал(а):

Пусть $f(0)=0$ и функция диффиренцируема в нуле. Найти $\lim_{h\to 0} h^{-1}\cdot [f(h)+f(h/2)+\dots +f(h/k)], k\in \mathbb{N}$
Если я умыслил, то ответ: $Ans=\sum_{i=1}^k \frac{f'(0)}{i}$

Вроде верно. Но $f'(0)$ не зависит от $i$ и поэтому его можно вынести за знак суммы.

lim в сообщении #1090609 писал(а):

gefest_md
Может у нас разные названия, но я не понимаю. Обычный алгоритм построения графика по заданной ФОРМУЛЕ:
Построить образ и прообраз, Стационарные точки, 2 производные со знаками, ассимптоты.

Я имел в виду теорему о связи между характером монотонности и знаком производной.

[lim]

gefest_md

типа если функция возрастает, то производная больше нуля и аналогичное?

[Lia]

lim
Не складывайте все вопросы в одну тему. Уже ничего понять невозможно, что и зачем. Заводите новую.

[lim]

Lia, ради каждой новой двухстрочной задачи новую содержательную тему?

[Lia]

lim
К сожалению, обсуждение решения двухстрочной задачки занимает вовсе не две строчки. Поэтому да. В новой теме и с попытками решения.

[gefest_md]

lim в сообщении #1090730 писал(а):

gefest_md

типа если функция возрастает, то производная больше нуля и аналогичное?

Больше или равно. Но только одно требуется Вами же и использованное: если производная функции строго больше нуля, то функция возрастает.