Сила тяжести

[riccolints]

miflin в сообщении #1089706 писал(а):

Ну, если бы Земля была точечной, то так бы оно и было.

Вот этот момент я и прозевал)) Оказалось, что ничего сверхъестественного нет, просто моя невнимательность.

miflin в сообщении #1089706 писал(а):

шаровой слой толщиной $R-r$ исключается из рассмотрения, т.к. его воздействие
на тело, находящееся в его полости, равно нулю

А этот шаровой слой разве не будет к себе притягивать? Ведь он тоже массой обладает.

[Pphantom]

riccolints в сообщении #1089719 писал(а):

А этот шаровой слой разве не будет к себе притягивать? Ведь он тоже массой обладает.

Будет, но поскольку интересующая Вас точка находится внутри него, то притягивать ее он будет в разные стороны. Можно показать, что суммарная получающаяся сила притяжения, создаваемая этим слоем, будет нулевой.

[miflin]

Pphantom в сообщении #1089714 писал(а):

Все же не совсем. Она будет верной в случае, если плотность Земли всюду одинакова, а последняя с радиусом меняется (хотя и не сильно, всего в несколько раз). Так что ее можно использовать только как приближение.

Да. Несколько переидеализировал я задачу. Хотя об этом факте знал.

[riccolints]

А при такой ситуации, когда, допустим есть три шарика (ничего кроме них во вселенной нет). Два из них с одинаковыми массами $m_1$, а третий с массой $m_2$. Этот третий шарик находится между теми двумя строго посередине (равноудален от каждого из них). Каждый из двух одинаковых шариков будет притягивать друг друга с силой $F_x$. Третий шарик будет покоиться, но сам он будет вносить вклад в притягивание остальных шариков (сила $F_y$ на каждый).
Правильно ли я понимаю, что расстояние между двумя одинаковыми шариками будет сокращаться с ускорением $2g_x+2g_y$?

И ещё такая ситуация - допустим, есть шаровой слой с одинаково распределенной массой. Строго в центре этого шарового слоя находится шар с маленькой массой. Получается, что этот шар будет парить в центре этого шарового слоя (т.к. со всех сторон он будет притягиваться с одинаковой силой)?

[Pphantom]

riccolints в сообщении #1089751 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что расстояние между двумя одинаковыми шариками будет сокращаться с ускорением $2g_x+2g_y$?

Да. Правда, нелишне заметить, что сразу после начала движения ускорение тоже начнет изменяться (поскольку будут изменяться расстояния между шариками).

riccolints в сообщении #1089751 писал(а):

И ещё такая ситуация - допустим, есть шаровой слой с одинаково распределенной массой. Строго в центре этого шарового слоя находится шар с маленькой массой. Получается, что этот шар будет парить в центре этого шарового слоя (т.к. со всех сторон он будет притягиваться с одинаковой силой)?

Не обязательно в центре - в любом месте внутренней полости слоя.

[riccolints]

Pphantom в сообщении #1089769 писал(а):

riccolints в сообщении #1089751 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что расстояние между двумя одинаковыми шариками будет сокращаться с ускорением $2g_x+2g_y$?

Да. Правда, нелишне заметить, что сразу после начала движения ускорение тоже начнет изменяться (поскольку будут изменяться расстояния между шариками).

riccolints в сообщении #1089751 писал(а):

И ещё такая ситуация - допустим, есть шаровой слой с одинаково распределенной массой. Строго в центре этого шарового слоя находится шар с маленькой массой. Получается, что этот шар будет парить в центре этого шарового слоя (т.к. со всех сторон он будет притягиваться с одинаковой силой)?

Не обязательно в центре - в любом месте внутренней полости слоя.

Благодарю, что помогли разобраться, теперь хоть смогу спокойно заснуть))

[Munin]

Pphantom в сообщении #1089714 писал(а):

Она будет верной в случае, если плотность Земли всюду одинакова, а последняя с радиусом меняется (хотя и не сильно, всего в несколько раз).

Правда, тут важно даже не полное изменение плотности, а скорость изменения. И насколько мне помнится, около поверхности Земли скорость роста плотности как раз настолько велика, что максимум силы тяжести достигается не на поверхности, а глубже. Может быть, ниже земной коры - примерно так.

-- 11.01.2016 03:25:38 --

Pphantom в сообщении #1089727 писал(а):

Будет, но поскольку интересующая Вас точка находится внутри него, то притягивать ее он будет в разные стороны. Можно показать, что суммарная получающаяся сила притяжения, создаваемая этим слоем, будет нулевой.

И здесь тоже reality check: это всё так, если сам слой в точности симметричный. А в реальной Земле это не так. Но примерно так, для большей части внутренностей Земли.

-- 11.01.2016 03:26:20 --

riccolints в сообщении #1089773 писал(а):

Pphantom в сообщении #1089769 писал(а):

Не обязательно в центре - в любом месте внутренней полости слоя.

Благодарю, что помогли разобраться, теперь хоть смогу спокойно заснуть))

Вот в этом месте хорошо бы разобраться поглубже, на уровне понимания, чтобы уметь доказывать.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1089788 писал(а):

Правда, тут важно даже не полное изменение плотности, а скорость изменения. И насколько мне помнится, около поверхности Земли скорость роста плотности как раз настолько велика, что максимум силы тяжести достигается не на поверхности, а глубже. Может быть, ниже земной коры - примерно так.

Да, максимум, по-видимому, находится в основании нижней мантии. Правда, он довольно условный, насколько я помню, там получается что-то вроде $1.04 \cdot 10^3\text{~см/с}^2$.

Munin в сообщении #1089788 писал(а):

И здесь тоже reality check: это всё так, если сам слой в точности симметричный. А в реальной Земле это не так.

Ну здесь-то мы обсуждаем уже не Землю, а идеальный сферический слой.

[Munin]

Ну, главное, чтобы все обсуждали одно и то же :-)

-- 11.01.2016 15:07:29 --

Pphantom в сообщении #1089866 писал(а):

Да, максимум, по-видимому, находится в основании нижней мантии.

Вот даже как? Круто! Значит, ядро сильно плотнее мантии. Конкретные цифры там какие? (До и после скачка плотности.) И вообще, куда вы за reference material подглядываете? (У меня есть какие-то Монин и Сорохтин, но подозрительно старые.)

[Pphantom]

Munin в сообщении #1089886 писал(а):

Вот даже как? Круто! Значит, ядро сильно плотнее мантии. Конкретные цифры там какие? (До и после скачка плотности.)

Выше - близко к средней плотности Земли (т.е. $5.5\text{~г/см}^3$), ниже - около $10\text{~г/см}^3$.

Munin в сообщении #1089886 писал(а):

И вообще, куда вы за reference material подглядываете?

В данном случае - просто в память.

[George357]

Pphantom в сообщении #1089769 писал(а):

Не обязательно в центре - в любом месте внутренней полости слоя.

Прошу прощения, не могли бы Вы пояснить, почему так? С центральным положением всё понятно, а с нецентральным что-то не врубаюсь.
Ведь расстояния от рассматриваемого тела (шарика) до стенок разные, следовательно, должна быть разной и сила притяжения. Т.е. должно притягиваться к той "стенке" внутренней полости, которая расположена ближе (естественно, с учетом вычета противодействующих сил).

[Munin]

Это очень интересный факт теории гравитации (и шире, теории потенциала, и кстати, это сохраняется даже в нелинейной теории гравитации Эйнштейна - в Общей теории относительности (ОТО)). Его можно понять и объяснить несколькими разными способами.

Например, такой простейший способ: одна стенка становится ближе, но другая, создающая противодействующие силы - оказывается больше по площади и по массе. Чтобы точно сравнить, надо взять какой-то телесный угол, выходящий из рассматриваемой точки (из шарика). И тогда мы увидим, что этот телесный угол $d\Omega$ в одном направлении высекает из оболочки массу $dm=\sigma\,r^2\,d\Omega/\!\cos\alpha$ (это следует из стереометрии), а в другом, противоположном направлении - массу $dm'=\sigma\,r'^2\,d\Omega/\!\cos\alpha.$ И получается, что уменьшение силы притяжения за счёт близости стенки в точности компенсируется увеличением силы притяжения за счёт увеличения площади и массы притягивающей части стенки.

Или, есть такой способ. Закон тяготения подчиняется теореме Гаусса: количество выходящих из замкнутого объёма силовых линий равно заключённой в этом объёме массе (точнее, в случае тяготения - входящих линий). Отсюда, если внутри сферической оболочки провести замкнутую поверхность, то в неё не должно входить ни одной линии, потому что внутри этой замкнутой поверхности пустота.

[George357]

Munin в сообщении #1089953 писал(а):

Это очень интересный факт теории гравитации (и шире, теории потенциала, и кстати, это сохраняется даже в нелинейной теории гравитации Эйнштейна - в Общей теории относительности (ОТО)). Его можно понять и объяснить несколькими разными способами.

Например, такой простейший способ: одна стенка становится ближе, но другая, создающая противодействующие силы - оказывается больше по площади и по массе. Чтобы точно сравнить, надо взять какой-то телесный угол, выходящий из рассматриваемой точки (из шарика). И тогда мы увидим, что этот телесный угол $d\Omega$ в одном направлении высекает из оболочки массу $dm=\sigma\,r^2\,d\Omega/\!\cos\alpha$ (это следует из стереометрии), а в другом, противоположном направлении - массу $dm'=\sigma\,r'^2\,d\Omega/\!\cos\alpha.$ И получается, что уменьшение силы притяжения за счёт близости стенки в точности компенсируется увеличением силы притяжения за счёт увеличения площади и массы притягивающей части стенки.

Или, есть такой способ. Закон тяготения подчиняется теореме Гаусса: количество выходящих из замкнутого объёма силовых линий равно заключённой в этом объёме массе (точнее, в случае тяготения - входящих линий). Отсюда, если внутри сферической оболочки провести замкнутую поверхность, то в неё не должно входить ни одной линии, потому что внутри этой замкнутой поверхности пустота.

Действительно, получается очень интересно и необычно. Кстати, первый способ, на мой взгляд, более наглядно объясняет.
Интересно, а проводились ли какие-нибудь эксперименты, воспроизводящие это в действительности?

[miflin]

George357 в сообщении #1089981 писал(а):

Интересно, а проводились ли какие-нибудь эксперименты, воспроизводящие это в действительности?

А нужен ли для этого эксперимент?
Имеем надежно подтвержденную наблюдениями и экспериментами формулу закона всемирного тяготения.
Дальше делаем чисто математический расчет, не вводя при этом каких-либо факторов, лежащих в стороне от закона.
Какие основания сомневаться в результатах расчета?

riccolints в сообщении #1089647 писал(а):

Например, такая картина - есть Земля и есть шарик. Других космических объектов, представим, что нет. На каком максимальном расстоянии от Земли должен находиться шарик, чтобы он притягивался к ней?

provincialka в сообщении #1089648 писал(а):

riccolints
На любом. Только притягиваться будет очень слабо.

На любом - это математически. А физически - может ли сила притяжения быть сколь угодно малой?
Вопрос не связан с чувствительностью приборов...

[Munin]

George357 в сообщении #1089981 писал(а):

Действительно, получается очень интересно и необычно. Кстати, первый способ, на мой взгляд, более наглядно объясняет.

Зато второй - более глубоко. Здесь есть отсылки к теории гармонических функций, к теории функций комплексной переменной, к ряду теорем о гармонических функциях, всё это красиво и взаимосвязано.

Кстати, ещё с этим же самым свойством связано другое, экспериментально хорошо известное: что если зарядить проводник, то заряды расположатся только по его поверхности.