Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?

[toreto]

Найти уравнения общих касательных к окружностям $(x-1)^2+(y-1)^2=4, (x-2)^2+(y-3)^2=16$

Условием того, что прямая $y=kx+b$ является касательной к $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ является равенство нулю дискриминанта $D_1=0$

квадратного уравнения $(x-1)^2+(kx+b-1)^2=4$

Условием того, что прямая $y=kx+b$ является касательной к $(x-2)^2+(y-3)^2=16$ является равенство нулю дискриминанта $D_2=0$

квадратного уравнения $(x-2)^2+(kx+b-3)^2=16$

Тогда искомые коэффициенты ищутся из системы $D_1=0$ и $D_2=0$

Верна ли идея?

[Brukvalub]

Идея - верная, вот только сможете ли вы довести решение до ответа?

[arseniiv]

…если случайно одна из прямых не окажется вертикальной (и не представимой потому уравнением $y = kx + b$). В общем случае прямая касательна к окружности, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу той.

[toreto]

Спасибо. Но там очень громоздко получается, есть ли способ попроще?

1)

$(x-1)^2+(kx+b-1)^2=4$

$x^2-2x+1+k^2x^2+2(b-1)+(b-1)^2=4$

$x^2-2x+1+k^2x^2+2kx(b-1)+(b-1)^2=4$

$x^2+(2k(b-1)-2)x+(b-1)^2-3=0$

$D_1=(2k(b-1)-2)^2-4((b-1)^2-3)=0$

$4k^2(b-1)^2-8(k(b-1))+4-4(b-1)^2+12=0$

[Brukvalub]

toreto в сообщении #1089717 писал(а):

там очень громоздко получается, есть ли способ попроще?

arseniiv в сообщении #1089708 писал(а):

В общем случае прямая касательна к окружности, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу той.

[toreto]

Спасибо. $kx-y+b=0$

У меня получилась такая система, верно ли это?

$2=\dfrac{k-1+b}{\sqrt{k^2+1}}$

$4=\dfrac{2k-3+b}{\sqrt{k^2+1}}$

-- 11.01.2016, 12:12 --

toreto в сообщении #1089832 писал(а):

Спасибо. $kx-y+b=0$

У меня получилась такая система, верно ли это?

$2=\dfrac{k-1+b}{\sqrt{k^2+1}}$

$4=\dfrac{2k-3+b}{\sqrt{k^2+1}}$

Что-то эта система не имеет решения, проверено вольфрамом http://www.wolframalpha.com/input/?i=2% ... %2B1%7D%7D

[gris]

Формула расстояния от точки до прямой должна давать только неотрицательные значения. Чего-то у Вас в ней не хватает.

[toreto]

Спасибо. Вот так?

$2=\dfrac{|k-1+b|}{\sqrt{k^2+1}}$

$4=\dfrac{|2k-3+b|}{\sqrt{k^2+1}}$

[gris]

Ну да. Правда, решать такие системы занудно. Впрочем, одно решение сразу видно и из системы, и из расположения окружностей. Я бы сдвинул всё это дело на единичку вниз и единичку влево, чтобы хоть одно уравнение упростилось. Но, может быть, и так можно решить.

[redicka]

Проще записать систему из четырех уравнений и найти точки на окружностях, через которые проходят касательные.
Далее записать уравнения прямых, проходящих через две точки.

[bot]

Да просто чуть-чуть геометрии. Из центров опустим перпендикуляры к касательным, они соответственно 2 и 4, следовательно меньший - средняя линия в треугольнике, образованном линией центров, общей касательной и большим из перпендикуляров. Отсюда сразу получаем точку пересечения касательной и линией центров. Остаётся провести из неё касательную к одной из окружностей.

-- Вт янв 12, 2016 09:54:36 --

Ещё вариант. Из центра меньшей окружности проводим касательную к другой, радиус которой уменьшен на радиус меньшей. Потом сдвигаем параллельно.
Это более универсально, так как 2 и 4 не играют.