2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение10.01.2016, 22:42 


22/11/15
101
Найти уравнения общих касательных к окружностям $(x-1)^2+(y-1)^2=4, (x-2)^2+(y-3)^2=16$

Условием того, что прямая $y=kx+b$ является касательной к $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ является равенство нулю дискриминанта $D_1=0$

квадратного уравнения $(x-1)^2+(kx+b-1)^2=4$

Условием того, что прямая $y=kx+b$ является касательной к $(x-2)^2+(y-3)^2=16$ является равенство нулю дискриминанта $D_2=0$

квадратного уравнения $(x-2)^2+(kx+b-3)^2=16$

Тогда искомые коэффициенты ищутся из системы $D_1=0$ и $D_2=0$

Верна ли идея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение10.01.2016, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Идея - верная, вот только сможете ли вы довести решение до ответа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение10.01.2016, 22:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
…если случайно одна из прямых не окажется вертикальной (и не представимой потому уравнением $y = kx + b$). В общем случае прямая касательна к окружности, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу той.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение10.01.2016, 23:03 


22/11/15
101
Спасибо. Но там очень громоздко получается, есть ли способ попроще?

1)

$(x-1)^2+(kx+b-1)^2=4$

$x^2-2x+1+k^2x^2+2(b-1)+(b-1)^2=4$

$x^2-2x+1+k^2x^2+2kx(b-1)+(b-1)^2=4$

$x^2+(2k(b-1)-2)x+(b-1)^2-3=0$

$D_1=(2k(b-1)-2)^2-4((b-1)^2-3)=0$

$4k^2(b-1)^2-8(k(b-1))+4-4(b-1)^2+12=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение10.01.2016, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
toreto в сообщении #1089717 писал(а):
там очень громоздко получается, есть ли способ попроще?

arseniiv в сообщении #1089708 писал(а):
В общем случае прямая касательна к окружности, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу той.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение11.01.2016, 11:10 


22/11/15
101
Спасибо. $kx-y+b=0$

У меня получилась такая система, верно ли это?

$2=\dfrac{k-1+b}{\sqrt{k^2+1}}$

$4=\dfrac{2k-3+b}{\sqrt{k^2+1}}$

-- 11.01.2016, 12:12 --

toreto в сообщении #1089832 писал(а):
Спасибо. $kx-y+b=0$

У меня получилась такая система, верно ли это?

$2=\dfrac{k-1+b}{\sqrt{k^2+1}}$

$4=\dfrac{2k-3+b}{\sqrt{k^2+1}}$


Что-то эта система не имеет решения, проверено вольфрамом http://www.wolframalpha.com/input/?i=2% ... %2B1%7D%7D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение11.01.2016, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Формула расстояния от точки до прямой должна давать только неотрицательные значения. Чего-то у Вас в ней не хватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение11.01.2016, 13:13 


22/11/15
101
Спасибо. Вот так?

$2=\dfrac{|k-1+b|}{\sqrt{k^2+1}}$

$4=\dfrac{|2k-3+b|}{\sqrt{k^2+1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение11.01.2016, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Ну да. Правда, решать такие системы занудно. Впрочем, одно решение сразу видно и из системы, и из расположения окружностей. Я бы сдвинул всё это дело на единичку вниз и единичку влево, чтобы хоть одно уравнение упростилось. Но, может быть, и так можно решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение11.01.2016, 23:29 


10/09/14
164
Проще записать систему из четырех уравнений и найти точки на окружностях, через которые проходят касательные.
Далее записать уравнения прямых, проходящих через две точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения общих касательных к окружностям. Верна ли идея?
Сообщение12.01.2016, 05:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5731
Новосибирск
Да просто чуть-чуть геометрии. Из центров опустим перпендикуляры к касательным, они соответственно 2 и 4, следовательно меньший - средняя линия в треугольнике, образованном линией центров, общей касательной и большим из перпендикуляров. Отсюда сразу получаем точку пересечения касательной и линией центров. Остаётся провести из неё касательную к одной из окружностей.

-- Вт янв 12, 2016 09:54:36 --

Ещё вариант. Из центра меньшей окружности проводим касательную к другой, радиус которой уменьшен на радиус меньшей. Потом сдвигаем параллельно.
Это более универсально, так как 2 и 4 не играют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group