Действие группы на множестве

[Sinoid]

(Оффтоп)

Поздравляю всех с Рождеством Христовым!

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1088507 писал(а):

Хотя вы меня удивляете... прорешали столько сложных задач и не можете решить эту

Ох, и не говорите, сам в шоке.

Давайте, пожалуйста, решать по порядку. Я напишу решение, а вы, если где-то ошибусь, то, пожалуйста, не просто промолчите, а укажите место ошибки: ведь идея-то уже пришла в голову, а если он неверна, зачем ее в голове держать. Итак, вот что я надумал про задачу а). Там, очевидно, композиция производится справа налево. Вначале производится отображение $h$, $y_i\to x_i$, такое, что $y_i$ пробегает все множество $Y$. Затем производится отображение $f$, $x_j\to y_j$, такое, что $x_j$ пробегает все множество $X$, а, значит, какие бы значения ни принимали все $x_i$, композиция $f\circ h$ будет вычислима. Если бы в отображении $f$ в какой-нибудь элемент $y_0$ множества $Y$ не переходил ни один элемент множества $X$, т.е. если бы $f$ не было сюръективным, то, какой бы ни была композиция $h$ в композиции $f\circ h$ в него не мог перейти ни один элемент множества $Y$. Но по условию эта композиция равна тождественному преобразованию множества $Y$, а в этом преобразовании всякий элемент этого множества обладает прообразом. Получено противоречие. Значит, $f$ - сюръективно.

[NSKuber]

Да, верно.

[Sinoid]

Так это получается, задаче а) можно дать более общую формулировку: ..., такое, что $f\circ h$ сюръективно, то $f$ тоже сюръективно.
Теперь я попробую решить (хотя я ее уже решил неявно) задачу б). Удобства ради я ее перенесу на эту страницу:

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

б) Если найдется $g: Y \to X$, такое что $g \circ f = id_{X},$ то $f$ - инъективно

.
Доказательство. Даже если $f$ отображает множество $X$ не на все множество $Y$, $g$ преобразует все множество $Y$ и поэтому композиция $g\circ f$ будет определена. Пусть $f$ - не инъективно. Тогда существуют такие, скажем, $x_1\neq x_2$, что $f(x_1)=f(x_2)$ и, если отображение $g$ переводит $f(x_1)$ в $x'$, то и в композиции $g\circ f$, являющейся, по условию инъективной, в один и тот же элемент $x'$ переходят два разных элемента $x_1$ и $x_2$, что опять-таки неверно. По ходу, и эта задача может быть обобщена. Скажите, пожалуйста, а это рассуждение верно?

[provincialka]

Верное.

[Sinoid]

Теперь ясно, как доказать исходное утверждение. В задаче от demolishka надо положить $X=Y$. Ввиду существования в группе $G$ обратного элемента, для данного отображения $g$ множества $X$ существует такое отображение $g^{-1}$, что

$g\circ g^{-1}$ сюръективно, а потому и $g$ сюръективно

$g^{-1}\circ g$ инъективно, а потому и $g$ инъективно

Правильно?

[demolishka]

Правильно.

Sinoid в сообщении #1089085 писал(а):

Так это получается, задаче а) можно дать более общую формулировку: ..., такое, что $f\circ h$ сюръективно, то $f$ тоже сюръективно.

Будет то же самое: на самом деле существование левого или правого обратного для $f$ равносильно сооветственно ее инъективности или сюръективности.

[Sinoid]

Давайте доведем обсуждение до конца, чтобы не осталось непонятных мест. Скажите, пожалуйста, вот я на первой странице инъективность доказал, по существу, так же как здесь: у меня получилось, что в один и тот элемент в композиции отображений переходят два разных элемента. Тем не менее то решение проигнорировано и было предложено решить задачу. То доказательство, как выяснилось позже, допускает обобщение. Так вот скажите, пожалуйста, игнорирование доказательства было из-за потери этого обобщения?

[demolishka]

Это не обобщение, а элементарный теоретико-множественный факт, который Вы упустили, а потому и создали тему. К тому же полезно понимать, что это не только специфика действия групп на множества, а более общая ситуация.

[Sinoid]

demolishka в сообщении #1089516 писал(а):

Это не обобщение, а элементарный теоретико-множественный факт, который Вы упустили

Который я просто пока не просто не удосужился изучить. Ладно, буду учиться, учиться и еще раз учиться. Большое спасибо всем.