Действие группы на множестве

[Sinoid]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, верность моего понимания следующего определения:

Я понял это так. Пусть $X=\{x_1,\,x_2,\dots\}$. Беру произвольный $g_1\in G$. Ему будет соответствовать отображение $\left(\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & \ldots\\ g_{1}(x_{1}) & g_{1}(x_{2}) & \ldots \end{matrix}\right)$, где все $g_1(x_i)$ принадлежат $X$. Так вот я хочу уточнить: верно ли, что в нижней строке содержатся все элементы множества $X$ ровно по одному разу?

[popolznev]

Другими словами, отображение $x \mapsto gx$ при фиксированном $g$ --- биекция.

[iifat]

Если удастся это доказать, то верно. В определении явным образом не прописано. Можно попробовать рассмотреть функции для $g$ и $g^{-1}$.

[Sinoid]

iifat в сообщении #1087992 писал(а):

Если удастся это доказать, то верно. В определении явным образом не прописано. Можно попробовать рассмотреть функции для $g$ и $g^{-1}$.

я изо всех сил думаю и не могу получить ничего. К первому посту меня подтолкнула первая же задача к этой теме, там предлагалось установить эквивалентность этого определения с таким: Действие $G$ на$X$ -это гомоморфизм $G\to S(X)$ ( где $S(X)$ - группа всех биекций $X$ на себя). Если из этого определения следует первое, то оно действительно следует: в верхнюю и нижнюю строки любого из элемента группы $S(X)$ каждый из элементов множества $X$ входит ровно один раз и отображение $G \times X\to X$ однозначно. Но как ни крути, в первом определении про отображение вообще ничего не сказано, оно отображение и все тут, точка! И, ИМХО, однозначность взять просто неоткуда! Или я чего-то недопонимаю?

[Brukvalub]

Скажите, а вот отображение, отвечающее элементу $g \cdot g^{-1}$ - обязательно биективно?

[Sinoid]

(Оффтоп)

Только сел писать, сварка началась, пришлось комп отключать

Brukvalub в сообщении #1088133 писал(а):

Скажите, а вот отображение, отвечающее элементу $g \cdot g^{-1}$ - обязательно биективно?

В группе $G$ $g \cdot g^{-1}=e$. Элементу $e$ соответствует тождественное преобразование множества $X$, являющееся биективным. Следовательно, да, оно обязательно биективно.

[Brukvalub]

На мой вопрос вы ответили верно. Возможно, этот ответ может помочь в доказательстве биективности?

[Sinoid]

Сейчас еще пришло в голову. Это произведение могу переписать так: $g^{-1}g=e$. Элементу $e$ соответствует в $S(X)$ ее элемент, в нижней строке которого содержатся все элементы $X$, значит, в нижней строке элемента $S(X)$, соответствующего элементу $g$, содержатся все элементы множества $X$, любое отображение сюръективно. Осталось только доказать инъективность.

[Sinoid]

А что, если попробовать рассудить так. Пусть для некоторого $g\in G$ соответствует элемент $S(X)$ $\left(\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & \ldots\\ g(x_{1}) & g(x_{2}) & \ldots \end{matrix}\right)$, где, например, при $x_1\ne x_2$ будет $g(x_1)=g(x_2)$. Для $g$ в группе $G$ существует элемент $g^{-1}$, отображающий, в силу условия, все элементы множества $X$ в элементы этого же множества. Значит, это отображение переводит элемент $g(x_1)$ в некоторый элемент, который я обозначу через $a$. При этом пока можно допустить, что в $a$ могут переходить и другие элементы множества $X$. А тогда в элементе $S(X)$, соответствующем $g\cdot g^{-1}$, в один и тот же элемент $a$ переходят два различных элемента $x_1$ и $x_2$... Это доказательство верно?

[demolishka]

Sinoid, Вам задача. Пусть $f: X \to Y$ отображение множеств $X$ и $Y$. Показать что
a) Если найдется $h:Y \to X$, такое что $f \circ h = id_{Y},$ то $f$ - сюръективно.
б) Если найдется $g: Y \to X$, такое что $g \circ f = id_{X},$ то $f$ - инъективно.

[Sinoid]

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

Пусть $f: X \to Y$ отображение множеств $X$ и $Y$.

Как-то странно употребление союза "и". А вообще за множества я еще не брался
Кажется, я понял, почему вы употребили союз "и": это не просто отображение одного множества на другое, а это взаимное отображение множеств друг на друга. Верно?

-- 06.01.2016, 00:25 --

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

Sinoid, Вам задача. Пусть $f: X \to Y$ отображение множеств $X$ и $Y$. Показать что
a) Если найдется $h:Y \to X$, такое что $f \circ h = id_{Y},$ то $f$ - сюръективно.
б) Если найдется $g: Y \to X$, такое что $g \circ f = id_{X},$ то $f$ - инъективно.

Ну вот, к примеру, насколько хватает моих знаний, в задаче б) допущение того, что $f$ - неинъективно, такими же рассуждениями, как у меня четырьмя постами выше, приводит к тому, что в $id_X$ в один и тот же элемент переходят разные элементы.

[demolishka]

Sinoid в сообщении #1088349 писал(а):

Как-то странно употребление союза "и"

Если Вам будет понятней, то "и" можно заменить на "в". Тем не мене запись $f: X \to Y$ трактуется однозначно, но с предлогами надо быть аккуратней: иногда под "в" понимается вложение(инъекция), а под "на" понимается сюръекция. В данном случае $f$ это просто отображение, про которое ничего не предполагается.

Sinoid в сообщении #1088349 писал(а):

А вообще за множества я еще не брался

Что значит "не брался за множества"? Вы математику начали изучать с действия групп на множества?

Sinoid в сообщении #1088349 писал(а):

это не просто отображение одного множества на другое, а это взаимное отображение множеств друг на друга. Верно?

Нет. И это понятно из условия задачи.

Sinoid в сообщении #1088349 писал(а):

Ну вот, к примеру, насколько хватает моих знаний, в задаче б) допущение того, что $f$ - неинъективно, такими же рассуждениями, как у меня четырьмя постами выше, приводит к тому, что в $id_X$ в один и тот же элемент переходят разные элементы.

Ну вот если понятна задача, то ничего не стоит перенести все на Ваш случай.

[Sinoid]

demolishka в сообщении #1088383 писал(а):

$f: X \to Y$

В отображениях вместо двоеточия употребляется специально созданная команда

Используется синтаксис LaTeX

\colon

demolishka в сообщении #1088383 писал(а):

но с предлогами надо быть аккуратней

это я знаю, здесь, бывает, даже ЗУ путают их употребление, хоть и очень редко.

demolishka в сообщении #1088383 писал(а):

Что значит "не брался за множества"?

Да я знаю, что изучаю не в той последовательности. А по множествам я понахватался верхушек: парадокс брадобрея, рассуждения Зенона, трансфинитные числа... Я просто побыстрее хочу за теорию Галуа приняться, да и сами группы, во-первых, интересны сами по себе, а, во-вторых, я сто лет назад пробовал их изучать, но тогда конкретно не пошло. А книги появились, немного подтянулся, дай, думаю, попробую старые завалы разгрести. Куроша попробовал дочитать, осилил, дай, думаю Шмидта кусану, а оно пошло и пошло, задачник Каролинского-Новикова 5 глав осилил, да вот споткнулся...

demolishka в сообщении #1088383 писал(а):

Sinoid в сообщении #1088349

писал(а):
это не просто отображение одного множества на другое, а это взаимное отображение множеств друг на друга. Верно?
Нет. И это понятно из условия задачи.

Из условия задачи ничего не понятно: сначала вы пишите

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

Пусть $f: X \to Y$

затем вы пишите

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

a) Если найдется $h:Y \to X$

а после еще и повторяетесь

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

б) Если найдется $g: Y \to X$, такое что $g \circ f = id_{X},$ то $f$ - инъективно.

Прочитав это и имея в голове понятие о $\dfrac{n}{m}\mbox{-значном}$ гомоморфизме, в голову естественным образом может прийти мысль, что

Sinoid в сообщении #1088349 писал(а):

Кажется, я понял, почему вы употребили союз "и": это не просто отображение одного множества на другое, а это взаимное отображение множеств друг на друга

demolishka в сообщении #1088383 писал(а):

Ну вот если понятна задача, то ничего не стоит перенести все на Ваш случай

Так по сути я это и сделал вот тут:

Sinoid в сообщении #1088307 писал(а):

Пусть для некоторого $g\in G$ соответствует элемент $S(X)$ $\left(\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & \ldots\\ g(x_{1}) & g(x_{2}) & \ldots \end{matrix}\right)$, где, например, при $x_1\ne x_2$ будет $g(x_1)=g(x_2)$. Для $g$ в группе $G$ существует элемент $g^{-1}$, отображающий, в силу условия, все элементы множества $X$ в элементы этого же множества. Значит, это отображение переводит элемент $g(x_1)$ в некоторый элемент, который я обозначу через $a$. При этом пока можно допустить, что в $a$ могут переходить и другие элементы множества $X$. А тогда в элементе $S(X)$, соответствующем $g\cdot g^{-1}$, в один и тот же элемент $a$ переходят два различных элемента $x_1$ и $x_2$...

я просто явно не использовал теорему

demolishka в сообщении #1088332 писал(а):

б) Если найдется $g: Y \to X$, такое что $g \circ f = id_{X},$ то $f$ - инъективно

так вы скажите, пожалуйста, эти рассуждения верны или нет?

[Brukvalub]

demolishka предложил просто великолепную задачу, решив которую и воспользовавшись моим замечанием, вы получаете полный ответ на свой вопрос. Так что не отвлекайтесь - решайте!

[provincialka]

Sinoid в сообщении #1088464 писал(а):

бывает, даже ЗУ путают их употребление, хоть и очень редко.

Все мы люди! Но если в фразах

Sinoid в сообщении #1088464 писал(а):

сначала вы пишите

Sinoid в сообщении #1088464 писал(а):

затем вы пишите

вы напишете "пишЕте", вас будет немного легче читать.

(Оффтоп)

Хотя вы меня удивляете... прорешали столько сложных задач и не можете решить эту