Пятая аксиома Пеано и Ларина

[whitefox]

Unx в сообщении #1085399 писал(а):

и получаем некорректное утверждение

В смысле нестрогих вычислений — вполне корректное.

[bot]

Определена или нет $S$ вне $N$ не суть.

Unx в сообщении #1085345 писал(а):

$S$ определена только для натуральных чисел, утверждение $S(-10) \in \mathbb{Z}$ будет некорректным. А это означает что и пятая аксиома сама является некорректной.

Вы взяли надмножество, то есть $N \subseteq M$ поставили в заключение импликации. Ну, тогда она истинна, независимо от всей предшествующей мути. В чём некорректность?
Содержательный смысл её именно в том, что любое множество, удовлетворяющее написанному, является надмножеством $N.$ Если оно к тому же и подмножество, то совпадёт с $N.$

-- Чт дек 24, 2015 18:03:23 --

(Оффтоп)

Пеано знаю, а кто Ларин?

(Оффтоп)

Зашёл доцитатить - в кунстакамеру пойдёт? Вспомнил, не вставку пользовал, а cntr-c/cntr-v

[arseniiv]

Unx в сообщении #1085399 писал(а):

У Ларина словесные формулировки, и там немного не так.

Тогда надо сначала определиться, как их формализовать. (Для удобства здесь только языки первого порядка и переменные одного сорта рассмотрим.)

Если у нас есть всякие множества, а не только натуральные числа, то тогда
(1) Или $S$ — обычный предикатный символ, и тогда он интерпретируется как функция, определённая на всех объектах интерпретации. И будь там $-10$, она будет определена на нём. Да, аксиомы не говорят о том, чему она там может быть равна — ну и что.
(2) Или $S$ — это переменная-множество, которая должна интерпретироваться в моделях наших аксиом функцией, определённой как минимум на $\mathbb N$ с образом минимум $\mathbb N$. Для этого нужно
(2.1) чтобы в аксиомы входило что-то, говорящее об этом;
(2.2) чтобы была определена операция применения функции к аргументу — двуместный функциональный символ (обозначим его здесь явно как $`$) такой, что любая из нас интересующих интерпретаций термов $I(f`x)$ должна быть равна $I(f)(I(x))$, если $I(x)\in\operatorname{dom}I(f)$. Но она должна быть равна чему-то и если $I(x)\notin\operatorname{dom}I(f)$. Это можно доопределить, опять же, как угодно — такое доопределение никак не сказывается на имеющих для человека смысл формулах, т. е. на таких, где мы не применяем функцию к аргументу, на котором она не определена, включая интересующую аксиому.
В результате никакого фэйла не происходит.

Если у нас только натуральные числа, то и множества можно рассмотреть только являющиеся подмножествами $\mathbb N$, и проблемы снова нет.

[Someone]

Unx в сообщении #1085399 писал(а):

Я не помню. У Ларина словесные формулировки, и там немного не так.
Там к посылке и заключению добавляется условие $M \subseteq N$, получается:
$M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$
Но проблему это не решает. Берем вместо $M$ любое собственное надмножество, например $\mathbb{Z}$, и получаем некорректное утверждение.

Ага, вот и появилась нормальная формулировка. Поскольку речь идёт об арифметике Пеано, то ничего, кроме натуральных чисел и их множеств нет. В частности, никаких "собственных надмножеств" нет и не может быть.

arseniiv в сообщении #1085412 писал(а):

Если у нас только натуральные числа, то и множества можно рассмотреть только являющиеся подмножествами $\mathbb N$, и проблемы снова нет.

[Unx]

Someone, здесь вы вводите нас в заблуждение.
Во-первых есть теория множеств, следовательно есть пустое множество, возможность из любого множества строить булеан, есть прямое произведение. Этих инструментов вполне достаточно, чтобы образовать сколь угодно много собственных надмножеств.
Во-вторых ничто не мешает одновременно с арифметикой строить те или иные алгебраические системы и брать из них необходимые элементы. И в-третьих можно дополнить систему натуральных чисел до целых, рациональных ит.д. Неужели вы действительно решили, что любое такое дополнение сделает пятую аксиому некорректной?? И какой тогда толк от арифметики, если к ней ничего нельзя добавить?

Someone в сообщении #1085434 писал(а):

появилась нормальная формулировка

У Нечаева в книге "Числовые системы" есть такой вопрос:
Вопрос 4.2.1. Пусть $M$ - любое множество, не обязательно состоящее только из натуральных чисел. Доказать, что $M$ содержит все натуральные числа, если удовлетворяет следующим условиям:
a) $1 \in M$
б) $\forall (a \in N) \ a \in M \Rightarrow a+1 \in M$

Поэтому обе формулировки нормальные. Просто одна из них считается аксиомой, а другая теоремой. Везде по-разному. Это зависит от учебника.

[Someone]

Unx в сообщении #1088693 писал(а):

Во-первых есть теория множеств

Ну, если у Вас ЕСТЬ теория множеств, и в ней какая-то модель арифметики… А если теории множеств НЕТ, а есть только арифметика Пеано?

[Unx]

Someone в сообщении #1088696 писал(а):

А если теории множеств НЕТ, а есть только арифметика Пеано?

Предложите систему аксиом 1-5 без использования теоретико-множественных понятий.
А я тем временем повторю свой вопрос: какой тогда толк от арифметики, если использование дополнительных теорий приводит нас к некорректным утверждениям?

-- 07.01.2016, 16:13 --

arseniiv в сообщении #1085412 писал(а):

(1) Или $S$ — обычный предикатный символ, и тогда он интерпретируется как функция, определённая на всех объектах интерпретации.

Кажется, я совсем плохо понимаю терминологию, помогите разобраться. Предикатный символ - это просто символ. Обозначено этим символом некоторое отношение. Интерпретация данного символа - это функция, которая для некоторого $n$-местного отношения и $n$ элементов определяет, связаны элементы этим отношением, или не связаны, и дает в качестве значения истину или ложь. А причем тут функция, определённая на всех объектах интерпретации? Что это такое?

arseniiv в сообщении #1085412 писал(а):

(2) Или $S$ — это переменная-множество, которая должна интерпретироваться в моделях наших аксиом функцией, определённой как минимум на $\mathbb N$ с образом минимум $\mathbb N$. Для этого нужно
(2.1) чтобы в аксиомы входило что-то, говорящее об этом;

Проще говоря, нужна запись вида $\forall M \exists S$ или $\exists S \forall M$. Но такого уточнения нет. Я не видел ни в одном учебнике аксиому индукции с таким уточнением.

arseniiv в сообщении #1085412 писал(а):

(2.2) чтобы была определена операция применения функции к аргументу — двуместный функциональный символ (обозначим его здесь явно как $`$) такой, что любая из нас интересующих интерпретаций термов $I(f`x)$ должна быть равна $I(f)(I(x))$, если $I(x)\in\operatorname{dom}I(f)$. Но она должна быть равна чему-то и если $I(x)\notin\operatorname{dom}I(f)$. Это можно доопределить, опять же, как угодно — такое доопределение никак не сказывается на имеющих для человека смысл формулах, т. е. на таких, где мы не применяем функцию к аргументу, на котором она не определена, включая интересующую аксиому.

Зачем такие сложности? Я не уверен, что до конца понял то, что вы написали. Нам просто нужно что-то вроде $\forall M \exists S$. Но в аксиомах этого нет. И взять негде.

[Someone]

Unx в сообщении #1088697 писал(а):

какой тогда толк от арифметики, если использование дополнительных теорий приводит нас к некорректным утверждениям?

К каким "некорректным утверждениям"?

Unx в сообщении #1088697 писал(а):

Предложите систему аксиом 1-5 без использования теоретико-множественных понятий.

Вообще, формализации арифметики в языке первого порядка широко известны, и никакой теории множеств не требуют. Одна из формализаций имеет следующий вид.

Арифметика включает теорию предикатов с равенством (соответствующие символы алфавита, синтаксические правила, аксиомы исчисления предикатов (включая, естественно, аксиомы исчисления высказываний), правила вывода, символ равенства "$=$" и соответствующие аксиомы). Кроме того, содержит символ унарной (одноместной) операции следования "$^{\prime}$" (содержательно $x^{\prime}$ интерпретируется как "натуральное число, следующее непосредственно за натуральным числом $x$"), символ константы "$0$", символы арифметических операций "$+$" и "$\cdot$" с соответствующими синтаксическими правилами.
Переменные обозначаем строчными латинскими буквами. Как это обычно принято в исчислении предикатов, формулы со свободными переменными интерпретируются с кванторами всеобщности по всем свободным переменным.

Аксиомы следования:
1. $\neg(x^{\prime}=0)$;
2. $(x^{\prime}=y^{\prime})\Rightarrow(x=y)$.
Аксиомы сложения:
3. $x+0=x$;
4. $x+(y^{\prime})=(x+y)^{\prime}$.
Аксиомы умножения:
5. $x\cdot 0=0$;
6. $x\cdot(y^{\prime})=x\cdot y+x$.
Схема аксиом индукции:
7. $(\varphi(0)\wedge\forall x(\varphi(x)\Rightarrow\varphi(x^{\prime})))\Rightarrow\forall x(\varphi(x))$,
где $\varphi(x)$ — произвольная формула, в которой переменная $x$ является свободной (в частности, может и вообще не входить).

Unx в сообщении #1088697 писал(а):

Предикатный символ - это просто символ. Обозначено этим символом некоторое отношение. Интерпретация данного символа - это функция, которая для некоторого $n$-местного отношения и $n$ элементов определяет, связаны элементы этим отношением, или не связаны, и дает в качестве значения истину или ложь. А причем тут функция, определённая на всех объектах интерпретации?

Вы смешали в кучу две совершенно разные разные вещи: предикаты и функции. Предикат интерпретируется отношением, а функция — это функция и есть. Например, $n$-местная функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ "перерабатывает" упорядоченную $n$-ку $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ элементов модели в некоторый элемент той же модели.

[Unx]

Someone в сообщении #1088731 писал(а):

К каким "некорректным утверждениям"?

Я оставил на эту тему 4 сообщения. Перечитайте в этой теме хотя бы самое первое.

Someone в сообщении #1088731 писал(а):

Вы смешали в кучу две совершенно разные разные вещи: предикаты и функции. Предикат интерпретируется отношением, а функция — это функция и есть.

Кто смешал? arseniiv или я?

[Someone]

Unx в сообщении #1088732 писал(а):

Кто смешал? arseniiv или я?

Вы.

Unx в сообщении #1088732 писал(а):

Я оставил на эту тему 4 сообщения. Перечитайте в этой теме хотя бы самое первое.

Unx в сообщении #1085345 писал(а):

1 $0 \in \mathbb{N}$
2 $x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \in \mathbb{N}$
3 $x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \neq 0$
4 $x \in \mathbb{N} \land y \in \mathbb{N} \land Sx = Sy \rightarrow x=y$
5 $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$

Если взять $\mathbb{Z}$ в качестве надмножества, и подставить его в пятую аксиому, получится $0 \in \mathbb{Z} \land \forall x (x \in \mathbb{Z} \rightarrow Sx \in \mathbb{Z}) \rightarrow N \subseteq \mathbb{Z}$. Выберем какой-нибудь $x$, например $-10$. Тогда, поскольку функция следования $S$ определена только для натуральных чисел, утверждение $S(-10) \in \mathbb{Z}$ будет некорректным. А это означает что и пятая аксиома сама является некорректной.

Я не знаю контекста. Приведите точную ссылку на источник, откуда Вы это взяли.

Цитата:

Тогда, поскольку функция следования $S$ определена только для натуральных чисел

По-моему, Вам уже объясняли, что это бред. Функция (именно функция, а не предикат) $S$ определена на всей области изменения переменных.

Перечисленные Вами аксиомы означают, что $\mathbb N$ является наименьшим индуктивным множеством, что совпадает с обычным определением натурального ряда в теории множеств. Впрочем, ещё раз повторю: я не знаю, что имел в виду автор. То, что я написал — одна из возможных интерпретаций этого списка аксиом. Другая интерпретация состоит в том, что, поскольку речь идёт об арифметике натуральных чисел, в ней нет никаких объектов, кроме натуральных чисел и их множеств, поэтому никаких "надмножеств" тоже нет, и пятая аксиома — это обычная аксиома индукции в языке второго порядка.

[Unx]

Unx в сообщении #1088749 писал(а):

По-моему, Вам уже объясняли, что это бред. Функция (именно функция, а не предикат) $S$ определена на всей области изменения переменных.

Точно укажите на каком множестве определена $S$.

-- 07.01.2016, 19:00 --

Someone в сообщении #1088743 писал(а):

Unx в сообщении #1088732 писал(а):

Кто смешал? arseniiv или я?

Вы.

Цитата:

In mathematics, a predicate is commonly understood to be a Boolean-valued function P: X→ {true, false}, called the predicate on X.
So, for example, when a theory defines the concept of a relation, then a predicate is simply the characteristic function or the indicator function of a relation.

-- 07.01.2016, 19:03 --

Someone, для вашей системы аксиом 1-7 укажите пожалуйста модель, которая бы не удовлетворяла моим аксиомам 1-5.

[Someone]

Unx в сообщении #1088749 писал(а):

Точно укажите на каком множестве определена $S$.

Всегда — на множестве всех объектов теории. Если в теории есть переменные разных сортов, то на множестве всех объектов, для обозначения которых используются переменные, подставляемые в функцию. В Вашем примере, если в качестве модели Вы берёте $\mathbb Z$, то $x$ пробегает все элементы $\mathbb Z$, поэтому $S$ определена на $\mathbb Z$. В теории множеств $x$ обозначает любое множество, и $Sx$ определено для любого множества ($Sx=x\cup\{x\}$).

Это общее правило.

-- Чт янв 07, 2016 18:21:11 --

Unx в сообщении #1088749 писал(а):

Someone в сообщении #1088743 писал(а):

Unx в сообщении #1088732 писал(а):

Кто смешал? arseniiv или я?

Вы.

Цитата:

In mathematics, a predicate is commonly understood to be a Boolean-valued function P: X→ {true, false}, called the predicate on X.
So, for example, when a theory defines the concept of a relation, then a predicate is simply the characteristic function or the indicator function of a relation.

Видите ли, arseniiv говорил о предикатах, которые интерпретируются как булевозначные функции, и функциях, значениями которых являются объекты теории. В частности, $S$ относится ко второму типу. Не вижу никакого противоречия с тем, что сказано в приводимой Вами цитате.

Unx в сообщении #1088749 писал(а):

Someone, для вашей системы аксиом 1-7 укажите пожалуйста модель, которая бы не удовлетворяла моим аксиомам 1-5.

У Вас теория второго порядка. Поэтому годится, видимо, любая нестандартная модель арифметики.

[Unx]

Someone в сообщении #1088743 писал(а):

Я не знаю контекста. Приведите точную ссылку на источник, откуда Вы это взяли.

https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ano_axioms

Someone в сообщении #1088753 писал(а):

Всегда — на множестве всех объектов теории. Если в теории есть переменные разных сортов, то на множестве всех объектов, для обозначения которых используются переменные, подставляемые в функцию.

Я не знаю, что такое объект теории, и мне не удалось нигде найти определения этого понятия.

Someone в сообщении #1088753 писал(а):

В Вашем примере, если в качестве модели Вы берёте $\mathbb Z$, то $x$ пробегает все элементы $\mathbb Z$, поэтому $S$ определена на $\mathbb Z$.

В качестве модели чего? $\mathbb Z$ - это лишь один пример надмножества, пригодный в качестве $M$. Поскольку таких примеров надмножеств бесконечно много, и на каждом из них соответствующая функция должна быть определена, то мы получаем что-то вроде семейства различных функций $S$. Но поскольку выбор надмножества ограничен лишь вашей фантазией, то это семейство $S$ не поддается никакому точному описанию.

-- 07.01.2016, 19:47 --

Someone в сообщении #1088753 писал(а):

У Вас теория второго порядка. Поэтому годится, видимо, любая нестандартная модель арифметики.

Я ничего не понял. Даже не знаю, что такое нестандартная модель арифметики. Однако модели к вашей аксиоматике (которая не подошла бы к моей) указано не было, а интересно посмотреть.

-- 07.01.2016, 19:52 --

Someone в сообщении #1088753 писал(а):

Видите ли, arseniiv говорил о предикатах, которые интерпретируются как булевозначные функции, и функциях, значениями которых являются объекты теории.

arseniiv говорил так:

Цитата:

Или $S$ — обычный предикатный символ, и тогда он интерпретируется как функция, определённая на всех объектах интерпретации.

Мне кажется, эта фраза требует расшифровки...

[Someone]

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Peano_axioms

Понятно.

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

Я не знаю, что такое объект теории, и мне не удалось нигде найти определения этого понятия.

"Объекты" — это понятие, принадлежащее не теории, а её модели. Это попросту элементы модели. Объекты арифметики называются натуральными числами. Объекты теории множеств — множествами или классами (в зависимости от конкретной теории множеств).

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

Я ничего не понял. Даже не знаю, что такое нестандартная модель арифметики. Однако модели к вашей аксиоматике (которая не подошла бы к моей) указано не было, а интересно посмотреть.

Ну, в тексте, находящемся по вашей ссылке, прямо написано, что эта теория — второго порядка. И, кстати, там $M$ — не множество, а свойство. Это более широкое понятие, чем множество. Запись $x\in M$ означает, что элемент $x$ обладает свойством $M$; $\mathbb N\subseteq M$ — что каждый элемент $\mathbb N$ обладает этим свойством.
Если мы формализуем арифметику в языке первого порядка, в котором нет возможности говорить о произвольных свойствах, мы вынуждены рассматривать только те свойства, которые можно выразить формулами используемого языка, и в результате одна аксиома индукции превращается в бесконечное множество аксиом (по одной для каждой формулы).
Поскольку не каждое свойство натуральных чисел можно выразить формулой, оказывается, что бесконечное множество аксиом индукции первого порядка слабее одной аксиомы индукции второго порядка. Поэтому арифметика первого порядка имеет больше моделей, чем арифметика второго порядка.
Предъявить конкретную нестандартную модель я не смогу. Существование таких моделей следует из теоремы Мальцева. Подробнее посмотрите здесь. Для более подробного изучения читайте учебники по математической логике.

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

Мне кажется, эта фраза требует расшифровки...

Вообще, я начал сомневаться, правильно ли я понял то, что сказал arseniiv. Пусть он сам объяснит.

Unx в сообщении #1085399 писал(а):

arseniiv в сообщении #1085378 писал(а):

Аксиомы из первого поста вы откуда брали?

Я не помню. У Ларина словесные формулировки, и там немного не так.
Там к посылке и заключению добавляется условие $M \subseteq N$, получается:
$M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$
Но проблему это не решает. Берем вместо $M$ любое собственное надмножество, например $\mathbb{Z}$, и получаем некорректное утверждение.

Как раз решает самым радикальным образом: поскольку $M\subseteq\mathbb N$, то всякие "надмножества" полностью исключаются.

[arseniiv]

(Я тут немного отдыхал, так что не мог ответить раньше.)
(Ага, теперь может дублировать что-нибудь из написанного только что Someone. Редактировать пост не буду.)

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

$\mathbb Z$ - это лишь один пример надмножества, пригодный в качестве $M$. Поскольку таких примеров надмножеств бесконечно много, и на каждом из них соответствующая функция должна быть определена, то мы получаем что-то вроде семейства различных функций $S$. Но поскольку выбор надмножества ограничен лишь вашей фантазией, то это семейство $S$ не поддается никакому точному описанию.

Во-первых, не нужно никакое семейство. Одна $I(S)$ со всем справится. Во-вторых, мы всё равно довольно часто не можем выразить все отношения на области интерпретации языка какими-то его формулами, так что требовать точное описание — это немного некрасиво.

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

Мне кажется, эта фраза требует расшифровки...

Интерпретация $n$-местного функционального символа — это функция, областью определения которой является $n$-я декартова степень всей области интерпретации. Область интерпретации — это связанное с ней такое данное множество. Интерпретация — это кортеж отображений из и подмножеств декартовых степеней этой области, по одному на каждый функциональный/предикатный символ языка, или, что то же самое, отображение из множества этих символов в отображения/подмножества. (Формулы набирать стимула не рождаете, так что будем довольствоваться синтаксическим богатством естественного языка.)

Unx в сообщении #1088764 писал(а):

Я ничего не понял. Даже не знаю, что такое нестандартная модель арифметики.

Ну так узнайте, а то это уже всё больше выглядит как троллинг. (Подсказка: это не более чем модель арифметики, не являющаяся стандартной. Стандартная состоит из обычных натуральных чисел (если нужна «материальность» можно отождествить их со строками над алфавитом из одного символа, хотя и конечные ординалы подойдут) с обычной интерпретацией операций.)

P. S. Судя по прочитанному, остаётся посоветовать только учебник матлогики. Определения, в которых надо разобраться для начала: формула первого порядка, язык первого порядка, интерпретация, модель множества формул.

-- Чт янв 07, 2016 22:22:03 --

Someone в сообщении #1088779 писал(а):

Вообще, я начал сомневаться, правильно ли я понял то, что сказал arseniiv. Пусть он сам объяснит.

Я только сейчас заметил, что написал «предикатный». My bad. Функциональный, конечно. Ну и «определённая на всех объектах интерпретации» — тоже чересчур высокая словестность, имелась в виду определённость на области интерпретации, а не что-то страшное. Удачно, что всё-таки это было правильно понято.