Глупый вопрос по теории множеств, A^0

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Тут вы, можно сказать, всё же угадали. Но именно угадали, а не вывели нормально. Пустое произведение — это терминальный объект, и они, как и другие произведения, существуют не во всех категориях. В категории множеств это любой синглетон.

Я не угадал. Эх... Что такое $A^n$? Это же степень. Достаточно было просто вспомнить формальное построение степеней и конечных произведений в полугруппах и моноидах. А дальше по аналогии... Нулевая степень может быть определена лишь в моноиде.
Как-то так...

-- 04.01.2016, 18:58 --

Munin в сообщении #1088021 писал(а):

Вы знаете, что телепатствовать в интернете вредно?

Больше не буду.)))

-- 04.01.2016, 19:01 --

Munin в сообщении #1088021 писал(а):

Я сам выше приводил аналогичный пример, так что мне опять непонятно, зачем вы мне это адресуете.

Из чистого занудства, если честно. Просто в таких случаях принято говорить "конструктивно", "неконструктивно".

[arseniiv]

Я останусь при своём мнении. Вы лучше прокомментируйте пост, оставшийся на предыдущей странице: post1088039.html#p1088039.

-- Пн янв 04, 2016 21:09:39 --

Munin в сообщении #1088021 писал(а):

А этого и не было сказано. Было сказано обратное: отображения естественно изображаются стрелками. И с этим не поспоришь.

Ну, если читать прямо по писаному, а именно

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

Всякое отображение в ТК - это просто стрелка и все.

то можно возразить, что не всякие отображения являются стрелками в данной категории. Ну да, в Set — все. Но нигде не написано явно, что в ходу именно Set.

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1088039 писал(а):

Было бы неплохо, если бы вы хоть цитату привели из той книге или как-то пояснили.

Хорошо. Попробую. Итак, значит равенство...
$\forall x,y (x=y)\Longleftrightarrow (P(x)\sim P(y))$ для любой формулы $P$ с одной свободной переменной. Можно и по-другому, конечно...

-- 04.01.2016, 19:24 --

Вы не поняли. В ТК "отображение" и "стрелка" - просто синонимы. Однако мне хорошо известен тот факт, что не всегда стрелка может быть интерпретирована как теоретико множественная функция. Это очевидно.

-- 04.01.2016, 19:28 --

arseniiv в сообщении #1088047 писал(а):

Я останусь при своём мнении. Вы лучше прокомментируйте пост, оставшийся на предыдущей странице: post1088039.html#p1088039.

-- Пн янв 04, 2016 21:09:39 --

Munin в сообщении #1088021 писал(а):

А этого и не было сказано. Было сказано обратное: отображения естественно изображаются стрелками. И с этим не поспоришь.

Ну, если читать прямо по писаному, а именно

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

Всякое отображение в ТК - это просто стрелка и все.

то можно возразить, что не всякие отображения являются стрелками в данной категории. Ну да, в Set — все. Но нигде не написано явно, что в ходу именно Set.

Кстати, если вы перечитаете мои предыдущие сообщения, то все там увидите. Не я один невнимателен.)

[g______d]

Munin в сообщении #1088021 писал(а):

Ну а correct как будет по-русски, раз уж вы призываете?

Верное, или правильное. Может быть, ещё грамматически корректное. У Сосинского в книге "Как написать математическую статью по-английски" этот момент подробно объясняется.

По поводу основного вопроса -- действительно, категорное определение -- единственное, в котором выполняются естественные свойства. Конструктивные определения нужны, в первую очередь, для ответа на вопрос "существует ли данный объект в рамках классической теории множеств".

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1088047 писал(а):

Ну, если читать прямо по писаному

то было написано не "в данной категории", а "в ТК" :-)

Но вы правы, что LionKing этого, видимо, не чувствует.

LionKing в сообщении #1088041 писал(а):

Просто в таких случаях принято говорить "конструктивно", "неконструктивно".

Допускаю. Надеюсь, ТС это хоть как-нибудь поможет.

LionKing в сообщении #1088051 писал(а):

Вы не поняли. В ТК "отображение" и "стрелка" - просто синонимы.

Всё-таки нет. "Стрелка" - это синоним слова "морфизм", но не "отображение".

[LionKing]

Munin в сообщении #1088034 писал(а):

Поскольку тут пошёл разговор не по сути, а по вычёсыванию блох.

Munin в сообщении #1087554 писал(а):

По наивному определению.
Пусть... $n$-ка - (определяется) как

$$(x_1,\ldots,x_n)=\{\{x_1\},\{x_1,x_2\},\ldots,\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\}.$$

На это мне в ЛС заметили, что хорошим определением это не будет, в частности, $(1,1,2)=\{\{1\},\{1,2\}\}=(1,2,2).$
Я и не приводил это как пример хорошего определения, я всего лишь приводил это как пример наивного определения. Списал у Вавилова (который приводит и другие примеры определений, например,

$$(x_1,\ldots,x_n)=((\ldots(x_1,x_2),\ldots,x_{n-1}),x_n)$$

- которое, однако, сформулировано только для $n\geqslant 2$).
Чё-то ещё хотел добавить, но вылетело из башки.

Ну да, первое определение хромает... Второе, наверное, получше будет (прям по аналогии со степенью). Хотя не знаю. Нужно проверить выполнение всех нужных свойств для него.

[Munin]

g______d в сообщении #1088059 писал(а):

По поводу основного вопроса -- действительно, категорное определение -- единственное, в котором выполняются естественные свойства.

Спасибо большое!

А известно ли вам о корректных обобщениях пары Куратовского на $n$-ку, не сводящихся к рекурсии пар?

[LionKing]

Munin в сообщении #1088060 писал(а):

Всё-таки нет. "Стрелка" - это синоним слова "морфизм", но не "отображение".

Т.е. по вашему функция - это ни разу не стрелка (морфизм)?

[Munin]

LionKing в сообщении #1088061 писал(а):

Нужно проверить выполнение всех нужных свойств для него.

Которых ровно одно:

Цитата:

Аксиома упорядоченной $n$-ки. Равенство двух упорядоченных $n$-ок


$$(x_1,\ldots,x_n)=(y_1,\ldots,y_n)$$


имеет, место тогда и только тогда, когда $x_i=y_i$ для всех $i,\quad 1\leqslant i\leqslant n.$

Впрочем, Вавилов даёт задачу на доказательство этого свойства для этой "наивной" конструкции, и как видно выше, ошибочно. Не факт, что он сам его доказывал. Возможно, пропустил, поскольку доказательство для пары у него очень запутанное.

-- 04.01.2016 19:43:43 --

LionKing в сообщении #1088064 писал(а):

Т.е. по вашему функция - это ни разу не стрелка (морфизм)?

Как правильно указывает arseniiv, есть функции, которые не являются в данной категории морфизмами. Например, произвольное отображение из группы в группу морфизмом в категории $\mathrm{Grp}$ не будет, а чтобы им быть, отображению надо быть гомоморфизмом групп: сохранять групповую операцию.

[arseniiv]

LionKing в сообщении #1088051 писал(а):

Итак, значит равенство...
$\forall x,y (x=y)\Longleftrightarrow (P(x)\sim P(y))$ для любой формулы $P$ с одной свободной переменной. Можно и по-другому, конечно...

И что это —

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

тождественное равенство

или

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

теоретико - множественное равенство объектов

?

Призна́ю, я кое-что смешал насчёт равенства и аксиомы экстенсиональности в теории множеств, но надо сначала разобраться, стоит ли вдаваться в детали здесь.

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1088090 писал(а):

LionKing в сообщении #1088051 писал(а):

Итак, значит равенство...
$\forall x,y (x=y)\Longleftrightarrow (P(x)\sim P(y))$ для любой формулы $P$ с одной свободной переменной. Можно и по-другому, конечно...

И что это —

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

тождественное равенство

или

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

теоретико - множественное равенство объектов

?

Призна́ю, я кое-что смешал насчёт равенства и аксиомы экстенсиональности в теории множеств, но надо сначала разобраться, стоит ли вдаваться в детали здесь.

Это тождественное равенство, эсэственно!

[arseniiv]

А теоретико-множественное тогда какое?

-- Вт янв 05, 2016 00:10:11 --

Между же делом, я вас обрадую. Ваше «тождественное равенство» в модели вот этого вот набора утверждений $\forall x\forall y.\;x = y\leftrightarrow(\varphi\leftrightarrow\varphi[y/x])$ для всех формул $\varphi$ рассматриваемого языка первого порядка, может интерпретироваться отношением эквивалентности, не являющимся равенством. Для чего выделяют т. н. нормальные модели, в которых $=$ интерпретируется именно равенством. «Ненормальную» модель можно легко получить из любой нормальной, наделав копий элементов области интерпретации.

[Mikhail_K]

Мне кажется, смысл различать тождественное равенство и теоретико-множественное - вот какой. Пусть у нас теория множеств, и все рассматриваемые объекты - множества. Тождественное равенство означает (интуитивно), что два множества совпадают во всех смыслах, что это не два разных множества, а одно множество. Теоретико-множественное равенство определяется так: $A=B$, если $\forall x\in A$, $x\in B$ и $\forall x\in B$, $x\in A$. К сожалению, из этого определения не удаётся вывести одно простое и очевидное утверждение: что если $A\in C$ (то есть $A$ входит в множество $C$ как элемент) и $A=B$, то $B\in C$. Вот поэтому может показаться, что теоретико-множественное равенство значит несколько меньше, чем тождественное. Но это вполне устранимо: к теоретико-множественному определению равенства добавляют написанное выше утверждение как аксиому. После этого, кажется, теоретико-множественное равенство неотличимо от тождественного и различать их не стоит.

Другими словами, теоретико-множественное определение равенства, без специальной аксиомы, означает просто, что два множества состоят из одних и тех же элементов, но не означает, что они представляют собой один и тот же объект.