2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 10:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Пусть $A=\{a_j, j\in J\}$ - множество.
$n$-ая декартова степень множества $A$ есть $A^n = \underbrace{A\times...\times A}\limits_n, n\geqslant 1$.
А чему равно $A^0$?
Попытки решения:
Элементы $A^n$ - это кортежи длины $n$ вида $(a_{j_1},...,a_{j_n}), j_i\in J$. Тогда при $n=0$ имеем $A^0=\{()\}$ - множество, содержащее кортеж длины нуль. Но что такое $()$? Похоже на $\{\}$, но просто так это ничего не значит.
Определение упорядоченной пары по Куратовскому мне не помогает:

$A^1=A \Rightarrow (a)=a$? :shock:

$A^2\times A^0=A^2$
$(a,b)\cdot () = (a,b)$
$\{\{a,b\},\{a\}\}\cdot () = \{\{a,b\},\{a\}\}$
$()\neq \varnothing$ из рассмотрения мощностей обеих частей
$\{\{a\}\}\cdot \{...,x_j,...\} = \{\{a\}\}$...
дальше еррор :-(
Ничего не понимаю.
Что это такое: $()$? Это не множество?

Практическая мотивация:
Вот написал я функцию:
Код:
int F0(){return 0;}
Я могу ее вызвать, значит она где-то определена. И где она определена?

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0.BD.D1.8C
Вика невероятно лаконична :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 10:39 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
$A^n$ - это множество отображений из $\{ 1, \ldots, n \} \to A$. Соответственно, $A^0$ - это множество отображений из $\varnothing \to A$, то есть пустое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 10:57 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
AV_77 в сообщении #1087533 писал(а):
Соответственно, $A^0$ - это множество отображений из $\varnothing \to A$, то есть пустое множество.
Неверно:
Если $A^0=\varnothing$, то $A^n = A^0\times A^n = \varnothing$ для любого $A$.
Ясно, что $|A^0|=\frac{|A^n|}{|A^n|}=1>0 \Rightarrow A^0\neq\varnothing$
Если $A=\{\varnothing\}$, то тоже неверно, но уже по другой причине.

AV_77 в сообщении #1087533 писал(а):
$A^n$ - это множество отображений из $\{ 1, \ldots, n \} \to A$.
Тоже неверно, просто одинаковые обозначения.
Например: $A^1=A=\{a_1,...,a_k\}$. Однако, по Вашему, $A^1=A^{\{1\}}=\{\{(1,a_1)\}, \{(1, a_2)\}, ..., \{(1, a_k)\}\}\neq A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 12:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Как раз множество $\varnothing\to A$ состоит из одного элемента — пустого отображения $\varnothing$, а не пусто само, так что тут согласие.

Sonic86
Декартово произведение — это «категорная» конструкция; нам, в сущности, не важно, как мы представляем кортежи множествами, так что мы можем получить много изоморфных декартовых произведений при желании. Главное, что если у нас есть несколько конструкторов пар $(,)_1, (,)_2$, и $A \times_i B \equiv \{(a,b)_i : a\in A, b\in B\}$, $l_i,r_i$ — проекции, соответствующие конструктору пары $(,)_i$, тогда $A\times_j B = \{(l_ic, r_ic)_j : c\in A\times_i B\}$. Аналогично с кортежами остальных длин. В результате $A^0$ — это синглетон $\{()\}$, а вот что именно такое $()$ — не важно. Часто выбирают $() = \varnothing$ — это четвёртое из широко распространённых соглашений в кодировании кортежей множествами, остальные вам известны:
• считать $(a) = a$;
• пара Куратовского;
$(a,b,\ldots) = ((a,b),\ldots)$.

Но можно, конечно, определить через пару Куратовского функции и считать кортежи (включая новые пары) честно функциями из $1..n$, и даже для успокоения написать функцию $\mathsf{newPairToOldOne}\colon (2\to A)\to A\times A$, чтобы везде писать новые. :-)

Не очень понятно написал, наверное, но вдруг представление составил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 12:30 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
arseniiv в сообщении #1087546 писал(а):
Как раз множество $\varnothing\to A$ состоит из одного элемента — пустого отображения $\varnothing$, а не пусто само, так что тут согласие.

О, конечно, после праздников туплю немного :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AV_77 в сообщении #1087533 писал(а):
Соответственно, $A^0$ - это множество отображений из $\varnothing \to A$, то есть пустое множество.

Вроде бы, не пустое, а одноэлементное.

Sonic86
По Вавилову (хорошая книжка!), понятие декартова произведения имеет смысл определять не точно (возясь с парами по Куратовскому и прочей мутатенью), а с точностью до изоморфизма, категорно. Поэтому, большого смысла выяснять, что же именно это будет, нет. Ясно, что это будет некое одноэлементное множество. А какое именно - не важно.

Почему одноэлементное? Ясно, что к любому декартову произведению можно добавить сомножитель - одноэлементное множество, и ничего не изменится. $A\times B\times\ldots\times C\cong A\times B\times\ldots\times C\times\{*\}.$ Это аналогично тому, как мы в арифметике можем любое произведение умножить ещё на $1.$ И поэтому, беря $n$-ю степень, мы можем добавить такой множитель, а когда $n=0,$ только он один в произведении и остаётся.

А теперь, при большом мазохизме, можно расписать это по Куратовскому...

-- 02.01.2016 12:40:40 --

Ах чёрт, я написал в точности то же, что и arseniiv... Ну ничего, пусть хотя бы обозначением $\{*\}$ обогащу тему.

-- 02.01.2016 12:58:28 --

По наивному определению.
Пусть произведение множеств определяется как
$$X_1\times\ldots\times X_n=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_i\in X_i\},$$ а $n$-ка - как
$$(x_1,\ldots,x_n)=\{\{x_1\},\{x_1,x_2\},\ldots,\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\}.$$ Как нам положить $n=0$? Заметим, что последнее выражение можно переписать в виде
$$(x_1,\ldots,x_n)=\{\{x_1\}\}\cup\{\{x_1,x_2\}\}\cup\ldots\cup\{\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\},$$ а к любому объединению приписать ещё и $\varnothing\cup\ldots$ Тогда получается $()=\varnothing,$ и $A^0=\{\varnothing\}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 13:24 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ладно, понятно.
Видимо, это еще одна "дырка" в теорию категорий из теории множеств.
Спасибо всем большое. Че-то я просто перепугался.

arseniiv в сообщении #1087546 писал(а):
Декартово произведение — это «категорная» конструкция
Это понятно, но хотелось явно узнать, что происходит именно в теории множеств: в ней-от ничего нет кроме множеств, значит и $()$ тоже д.б. множеством. А остальной Ваш текст я не очень осилил :-( , кроме отображения $(2\to A)\to A\times A$.

Понял еще ошибку:
Sonic86 в сообщении #1087530 писал(а):
$\{\{a,b\},\{a\}\}\cdot () = \{\{a,b\},\{a\}\}$
$()\neq \varnothing$ из рассмотрения мощностей обеих частей
$\{\{a\}\}\cdot \{...,x_j,...\} = \{\{a\}\}$...
дальше еррор :-(
$\cdot$ - это не декартово произведение и неверно думать, что $\bar x \cdot\varnothing = \varnothing$: как раз $\bar x \cdot\varnothing = \bar x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 13:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sonic86 в сообщении #1087561 писал(а):
А остальной Ваш текст я не очень осилил :-(
Mea culpa. :-) Кажется, пытаться сделать понятнее то, что я там написал, уже и не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Sonic86 в сообщении #1087561 писал(а):
Видимо, это еще одна "дырка" в теорию категорий из теории множеств.

Вавилов это явно произносит. Более того, не как "дырка", а вообще полкниги у него "точно-аксиоматическое", а полкниги - "с-точностью-до-изоморфизма-категорное".

    Не совсем наивная теория множеств (Mengenlehre)
    § 1.10, стр. 109
    Цитата:
    Определение. Прямым произведением двух множеств $A$ и $B$ называется множество $A\times B$ вместе с отображениями $\mathrm{pr}_1\colon A\times B\to A$ и $\mathrm{pr}_2\colon A\times B\to B,$ называемыми каноническими проекциями $A\times B$ на первый и второй множитель, удовлетворяющее следующему универсальному свойству. Для любого множества $C$ и любых отображений $f\colon C\to A$ и $g\colon C\to B$
    $$\xymatrix@=3pc{ A\times B \ar[r]^{\mathrm{pr}_1} \ar[d]_{\mathrm{pr}_2} & A \\ B & C \ar[u]_{f} \ar[l]^{g} \ar@{-->}[ul]^{(f,g)} }$$ существует единственное отображение $(f,g)\colon C\to A\times B$ такое, что $f=\mathrm{pr}_1\circ(f,g)$ и $g=\mathrm{pr}_2\circ(f,g).$

Добавлю, что в других местах, например, в Википедии, эту же диаграмму рисуют обычно стилистически немножко иначе:
$$\xymatrix@=3pc{ & C \ar[dl]_{f} \ar[dr]^{g} \ar@{-->}[d]^{(f,g)} & \\ A & A\times B \ar[l]^{\mathrm{pr}_1} \ar[r]_{\mathrm{pr}_2} & B }$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 15:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Munin, я это читал все, но мне это все пока неинтересно: я все равно этим не пользуюсь, поэтому для меня это пока выглядит как конструирование сферических абстракций в вакууме. Меня интересовало, что такое $()$ в наивной теории множеств (или в NBG, если угодно).

Munin в сообщении #1087577 писал(а):
Вавилов это явно произносит.

Не видел я у него ничего подобного. Пример про $((a,b),c)\neq (a, (b,c))$ неинтересен совершенно ввиду бесполезности, а других примеров у него там нет.
А тут - конкретная дырка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение02.01.2016, 23:41 


08/03/11
273
Я считаю, что понятие степени просто вводится по определению. Это касактся и нулевой степени. Таким образом, выводить никаких формул не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение03.01.2016, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):
Меня интересовало, что такое $()$ в наивной теории множеств (или в NBG, если угодно).

Не бывает. Или, если угодно, у каждого автора по-своему. Поэтому пояснения Вавилова лучше всё-таки прочитать и понять.

Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):
Не видел я у него ничего подобного.

    Цитата:
    В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе булевых операций, операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной. Результат применения булевых операций определен на самом деле. В отличие от этого прямое произведение двух множеств определено не единственным образом, а лишь с точностью до канонического изоморфизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение03.01.2016, 09:50 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Munin в сообщении #1087659 писал(а):
[$()$] Не бывает.
А ведь должно!

Munin в сообщении #1087659 писал(а):
Поэтому пояснения Вавилова лучше всё-таки прочитать и понять.
Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):
Не видел я у него ничего подобного.

    Вавилов писал(а):
    В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе булевых операций, операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной. Результат применения булевых операций определен на самом деле. В отличие от этого прямое произведение двух множеств определено не единственным образом, а лишь с точностью до канонического изоморфизма.
Понять я понял, да вот объяснений там просто нет.
Слова "операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной" можно понимать двояко:
1) "Операция прямого произведение является не только теоретико-множественной, но и теоретико-категорной".
2) "Операция прямого произведение не является теоретико-множественной".
Вариант 2) просто ложен: операция прямого произведение является теоретико-множественной, можно даже в русской Википедии это узнать.
Вариант 1) понятен и вопросов не вызывает. Но я еще не дошел до того места, где теория категорий начинает приносить хоть какую-то пользу. Точнее - дошел только сейчас, когда понял то, что $()$ не существует в ТМ при условии сохранения всех естественных свойств декартова произведения, но должен. А у Вавилова эти слова - это просто тезис без мотивировки и обсуждений, т.е. это не объяснение. Есть дальше объяснение про неассоциативность декартова произведения, но это просто мелочно (была дискуссия topic102858.html). Потому я продолжаю утверждать
Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):
Не видел я у него ничего подобного.


А вот проблема с $()$ - это уже поинтереснее. Меня для перехода к категорной формулировке это мотивирует сильнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение03.01.2016, 12:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Эм, погодите, а какой вопрос-то остался? (Я попробую написать понятнее в этот раз.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Глупый вопрос по теории множеств, A^0
Сообщение03.01.2016, 14:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Насколько я понял, нет: у меня вопросов нет, а Munin мне пытается доказать, что у Вавилова хорошо описано правильное понимание декартова произведения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group