Объединение отрезков

[Arkhipov]

Замкнуто ли объединение?
$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\left[10^{-n},1\right]}$
На первый взгляд нет - 0 не входит ни в один из отрезков, но поскольку $0.(9)=1$ скорость сходимости может иметь значение.
Другими словами, мне непонятно входит ли число 1 в счетное объединение:
$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\left[0,1-10^{-n}\right]}$
Если входит, то ответ на первый вопрос должен быть положительным.
Спасибо.

[Mihr]

Arkhipov в сообщении #1087589 писал(а):

Замкнуто ли объединение?
$\Big\cup{\left[10^{-n},1\right]}$

Если объединение берётся по всем натуральным $n$, то оно является полуинтервалом $(0,1]$ и, очевидно, не является замкнутым множеством.

Arkhipov в сообщении #1087589 писал(а):

На первый взгляд нет, но поскольку 0,(9)=1скорость сходимости может иметь значение.

Поясните, пожалуйста, свою мысль.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Mihr]

Arkhipov в сообщении #1087589 писал(а):

Другими словами, мне непонятно входит ли число 1 в счетное объединение:
$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\left[0,1-10^{-n}\right]}$

А что такое объединение множеств? Вы это помните?

[demolishka]

см. post1061078.html#p1061078

[Arkhipov]

Это множество, в которое входят все элементы, принадлежащие какому-нибудь из множеств совокупности. Я понимаю, что ни одно из множеств не содержит $0.(9)$, однако при бесконечном количестве девяток данное определение мне кажется схоластичным. Можно ли пояснить ответ как-то более прозрачно?

-- 02.01.2016, 21:20 --

demolishka в сообщении #1087604 писал(а):

см. post1061078.html#p1061078

Я не говорю о пределах, мне интересно, как интерпретировать:
$[0, 1-10^{-n}]$
при сколько угодно больших n.

[Mihr]

Arkhipov в сообщении #1087605 писал(а):

Я понимаю, что ни одно из множеств не содержит $0.(9)$, однако при бесконечном количестве девяток данное определение мне кажется схоластичным.

Извините, не понимаю Ваш "образ".
Лучше ответьте сами: если ни одно из объединяемых множеств не содержит единицу, входит ли единица в это самое объединение? Только исходя из буквы определения, а не из Вашей личной трактовки его "духа". И, кстати, обратите внимание на пост demolishka. Думаю, он точно определил причину Ваших сомнений: незачем, построив объединение множеств, далее строить замыкание этого объединения.

[provincialka]

Arkhipov
Как-то странно вы ставите вопрос... В одном вопросе изучаете два бесконечных объединения... Это создаёт путаницу!

Arkhipov в сообщении #1087605 писал(а):

Это множество, в которое входят все элементы, принадлежащие какому-нибудь из множеств совокупности. Я понимаю, что ни одно из множеств не содержит $0.(9)$, однако при бесконечном количестве девяток данное определение мне кажется схоластичным.

Что такое "схоластичное определение"? Или определение, или нет

[Arkhipov]

Это произошло случайно: сначала я задумался над первым, а когда попытался объяснить оказалось, что второе удачней.

-- 02.01.2016, 21:44 --

Mihr в сообщении #1087606 писал(а):

И, кстати, обратите внимание на пост demolishka. Думаю, он точно определил причину Ваших сомнений: незачем, построив объединение множеств, далее строить замыкание этого объединения.

Я понял его мысль так: в бесконечной последовательности
$\lbrace 0.9, 0.99, \cdots \rbrace$ не содержится $0.(9)$. Именно это мне кажется схоластикой.

[Mihr]

Arkhipov в сообщении #1087608 писал(а):

Я понял его мысль так: в бесконечной последовательности
$\lbrace 0.9, 0.99, \cdots \rbrace$ не содержится $0.(9)$.

Ну, если Вам так понятнее, пусть будет так. Действительно, предел числовой последовательности часто не совпадает ни с одним элементом этой последовательности.

Arkhipov в сообщении #1087608 писал(а):

Именно это мне кажется схоластикой.

Здесь комментировать нечего. Если Вам какой-то факт в математике "не нравится"... Что тогда делать? Наверное, постараться хотя бы привыкнуть к нему.

[Lia]

Arkhipov в сообщении #1087608 писал(а):

Я понял его мысль так: в бесконечной последовательности
$\lbrace 0.9, 0.99, \cdots \rbrace$ не содержится $0.(9)$. Именно это мне кажется схоластикой.

Это ничего. Назовите номер элемента последовательности, который равен $0.(9)$. Сотый? Миллионный? Еще какой?

[Arkhipov]

Спасибо большое за интересную дискуссию. Привыкнуть я смогу; но все же дело не совсем в пределах. Пусть я строю последовательность равенств:
$1=1$
$2=1+1$
$3=1+1+1$
Я не понимаю, почему бесконечная последовательность
$\lbrace \lbrace1\rbrace, \lbrace1,1\rbrace, \cdots \rbrace$
не содержит бесконечного числа единиц?

[Mikhail_K]

Arkhipov, а что Вы называете "схоластикой"? По-моему, всё в точности наоборот: схоластикой было бы объявлять, что точка $1=0.(9)$ входит в последовательность $0.9, 0.99, \dots$, хотя не совпадает ни с первым её членом, ни со вторым, ни с третьим, ... - просто на основе какого-то смутного интуитивного представления, что члены последовательности "сколь угодно близко" подходят к точке $1$. В математике говорят, что некоторое число есть член последовательности, только если оно имеет в этой последовательности конкретный (и конечный) номер.

А это смутное интуитивное представление, о котором шла речь, формализуется по-другому: говорят, что хотя $1$ и не есть член последовательности, но является её предельной точкой. Так же и с Вашим изначальным объединением множеств и точкой $0$: никто не спорит, что $0$ есть предельная точка для этого объединения. Но вот говорить о том, что $0$ принадлежит этому объединению, будет неправильно, потому что эта точка не принадлежит ни одному конкретному множеству из объединяемых.

-- 02.01.2016, 19:45 --

Arkhipov, в последнем сообщении Вы написали какую-то ерунду, уж извините.

[iifat]

Во-первых, она не содержит бесконечного числа единиц, потому что не содержит единиц вообще. Она содержит, насколько я могу судить, последовательности единиц. Если вы имеете в виду, что эта последовательность последовательностей не содержит бесконечную последовательность единиц, то это происходит примерно по той же причине, что она не содержит розового единорога: ни в какой строчке из вами перечисленных нет ни того, ни другого.