Что есть электрический потенциал?

[Munin]

arseniiv
Речь не о том, в каком порядке определения излагать. Речь о том, что если есть предел, то и бесконечно малые тоже есть, автоматически.

[peripatetik]

Munin в сообщении #1085623 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085596 писал(а):

Это несколько не согласуется с предыдущим абзацем, в котором говорилось о точных соотношениях в рамках выбранной матмодели (с чем я согласен). Чтобы они оставались точными, заряд должен быть бесконечно малый, иначе в рамках матмодели появится неточность.

Я вижу слово "пренебрежимо малый" как физическое, не укладывающееся в одну только матмодель, а проникающее насквозь и через матмодель, и через реальное явление (например, эксперимент).

То есть, фактически берётся некоторый малый заряд. Но не бесконечно малый, а вполне конкретный. И мы говорим, что пренебрегаем его влиянием на другую систему.

Потом переходим к матмодели. В ней мы берём этот малый заряд как бесконечно малую величину $\varepsilon.$ Или иначе говоря: берём заряд как конечную ненулевую величину, но пренебрегаем всем его влиянием на другую систему. Это математически одно и то же, поскольку математическая модель непрерывна, и $\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\mathrm{Model}(\varepsilon)=\mathrm{Model}(0).$

Потом в матмодели мы рассчитываем работу, и возвращаемся в физическую реальность. Теперь мы должны сравнить рассчитанную работу с реальной, измеренной. И это делаем с какой-то погрешностью. Если погрешность нас устраивает - то всё окей. Если погрешность нас не устраивает - то надо было взять заряд поменьше. И наконец, если это невозможно - тогда проблема.

В принципе, можно и так, хотя, брать конечный заряд и пренебрегать его влиянием идеологически подозрительно, вот тут шансы нарваться на грабли довольно большие. Мне проще иметь математически точное описание с бесконечно-малым пробником, помня при этом о границах его применимости, чем возиться с конечным и маленьким зарядом, хотя при переходе к экспериментальным данным оба подхода совпадут, по-моему.

Цитата:

peripatetik в сообщении #1085596 писал(а):

Тут возникает философский вопрос что лучше - формальные действия, приводящие к правильным результатам или качественное понимание, пусть с риском ошибиться. Второе, на мой взгляд, интереснее.

На самом деле, это не взаимоисключающие альтернативы, а две стороны единого целого. Не торопитесь отбрасывать формальную сторону - это вам не поможет в понимании, а помешает. Обычно же при обучении сначала приходится осваивать формальную сторону - потому что это проще - а с некоторым опытом её применения приходит и качественное понимание. А "с нуля" его взять неоткуда.

Согласен, но формализм теорфизики довольно жесткий, после его освоения велик соблазн игнорировать качественное, то есть физическое описание.

[Pulseofmalstrem]

peripatetik
Но ведь в том, что вы называете "формальным определением" (если я верно Вас понял: минус градиент скалярного потенциала равен напряженности", опуская членик с магнитным полем) на самом деле скрыт весьма сочный физический смысл, описанный Фейманом в одном из его томов.

Суть в том, что если брать градиент потенциала, то мы как бы вычисляем работу, которую совершает электрическое поле над зарядом отнесенную к этому самому заряду. А поскольку напряженность на бесконечномалом смещении можно принять постоянной, то мы сразу же получаем искомую формулу.

[peripatetik]

Pulseofmalstrem в сообщении #1085782 писал(а):

peripatetik
Но ведь в том, что вы называете "формальным определением" (если я верно Вас понял: минус градиент скалярного потенциала равен напряженности", опуская членик с магнитным полем) на самом деле скрыт весьма сочный физический смысл, описанный Фейманом в одном из его томов.

Суть в том, что если брать градиент потенциала, то мы как бы вычисляем работу, которую совершает электрическое поле над зарядом отнесенную к этому самому заряду. А поскольку напряженность на бесконечномалом смещении можно принять постоянной, то мы сразу же получаем искомую формулу.

Так я как раз об этом и говорил, это amon рекомендует воспринимать потенциал как градиент.

[Pulseofmalstrem]

peripatetik
И он прав. Если определять потенциал как энергию единичного заряда в этой точке, то могут быть проблемы. А градиент всегда корректен, а смысл если очень хочеться физ. смысла в локальной связи с энергией. Физика всегда проста локально, а вот глобально могут возникать трудности.

[peripatetik]

PS. Придумал задачку по мотивам данной темы, желающие могут развлечься тут -

topic104434.html

[Munin]

peripatetik в сообщении #1085774 писал(а):

В принципе, можно и так, хотя, брать конечный заряд и пренебрегать его влиянием идеологически подозрительно, вот тут шансы нарваться на грабли довольно большие.

Мне понятно ваше недоверие. Однако, это довольно важная операция, важная именно в физике, в отличие от математики, и ей важно овладеть. Чтобы не нарываться на грабли и т. п.

Здесь должна вести речь о порядках малости, как о степенных, так и о количественных (то есть, есть порядки малости $\varepsilon^n,$ и есть - $10^{-n}$). "Степенные" относятся к математической части теории: мы должны взять $\mathrm{Model}(\varepsilon),$ и разложить её в ряд Тейлора по степеням $\varepsilon.$ Потом надо рассмотреть нулевой член (это и будет $\mathrm{Model}(0)$); первый, оценить его величину, и необходимость учёта. Если первый член учитывается, то дальше надо рассмотреть второй, и так далее.

"Количественные" порядки малости (слова в кавычках - не термины, а просто мои пояснения) оцениваются так же, но со стороны конкретных экспериментальных величин. Мы знаем, какую величину принимает "пробный" заряд в конкретном эксперименте. Вот и надо оценить, насколько велик будет его вклад в те или иные эффекты. Здесь надо пользоваться оценками по порядку величины, и зачастую это проще, чем полная теория. Полной теории вообще может не быть, или она может быть вычислительно неподъёмной. Тем не менее, такие оценки могут сказать, что вычислять вообще ничего не надо: например, точность всего эксперимента $10^{-3},$ и соответственно расчёт теории будет сравниваться с экспериментом не точнее этого, а вносимые возмущения составляют порядка $10^{-5}.$

(Тут надо иметь в виду, что есть эффекты, усиливающие возмущения. Например, если малый заряд поднести близко к другому малому заряду, то у них может оказаться большая энергия взаимодействия. То же самое - если малый заряд поднести близко к проводнику, в котором возникает его отражение.)

peripatetik в сообщении #1085774 писал(а):

Согласен, но формализм теорфизики довольно жесткий, после его освоения велик соблазн игнорировать качественное, то есть физическое описание.

Мне кажется, если человек в такое сваливается, то он занимается самообманом: он занимается математикой, а не теорфизикой.

Pulseofmalstrem в сообщении #1085782 писал(а):

А поскольку напряженность на бесконечномалом смещении можно принять постоянной, то мы сразу же получаем искомую формулу.

Вот в этом "поскольку" - как раз грабли, названные amon-ом: в случае проводников и зеркальных изображений - это не всегда так.

[Pulseofmalstrem]

Munin в сообщении #1085797 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085774 писал(а):

Pulseofmalstrem в сообщении #1085782 писал(а):

А поскольку напряженность на бесконечномалом смещении можно принять постоянной, то мы сразу же получаем искомую формулу.

Вот в этом "поскольку" - как раз грабли, названные amon-ом: в случае проводников и зеркальных изображений - это не всегда так.

Верно ли я понимаю, что проблема возникает на поверхностях проводника, где напряженность поля терпит разрыв и там появляються обобщенные функции, правила игры с которыми другие?

[Munin]

Нет. Проблема возникает из-за того, что заряды в проводнике не прибиты гвоздями к пространству, а движутся и размещаются так, чтобы выполнять некоторое условие. И смещая пробный заряд, вы смещаете одновременно и заряды в проводнике.

Собственно, проводник и необязателен. Вы можете взять поляризующийся диэлектрик, и даже с плавно спадающей до нуля проницаемостью, чтобы не было никаких поверхностей и разрывов. Вы можете взять отдельный поляризуемый диполь, или несколько таких диполей. Ну и т. д.: любую систему, заряды в которой не зафиксированы в пространстве, а зависят от внешних условий, в том числе и от поля пробного заряда.

[Pulseofmalstrem]

Munin
Понятно. Проявляються эффекты более высоких порядков малости.

[Munin]

Нет, в том-то и дело, что здесь они как раз вылезают в первый порядок малости.

[ewert]

Munin в сообщении #1085490 писал(а):

arseniiv в сообщении #1085454 писал(а):

Для определения предела бесконечно малые не нужны.

Для формального определения -- не нужны безусловно. Для интерпретаций -- безусловно полезны.

мат-ламер в сообщении #1085504 писал(а):

На самом деле они писали о работе совершаемой электрическим полем, а не работой, совершаемой кем-то над полем.

Это некоторая условность. И обусловлена эта условность лишь тем, что приятнее для глаза определять полную энергию как сумму, а не как разность.