2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение27.12.2015, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань

(Оффтоп)

Mihr я понимаю arseniiv вопрос уже столько раз обсуждался и мусолился... что остается только шутить )))

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение27.12.2015, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5022

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1086332 писал(а):
вопрос уже столько раз обсуждался и мусолился...

Да, большинство людей не станет искать подходящую тему и просматривать её. А попросит, чтобы ответили на данной вопрос именно ему. Неважно, был ли этот вопрос задан ранее.
С другой стороны, вроде бы, на то и форум, чтобы получать быстрые ответы. Ведь и в учебнике наверняка ответ найти можно, но на форуме как-то удобнее...

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 10:31 


31/10/15
121
Mihr в сообщении #1086358 писал(а):
Да, большинство людей не станет искать подходящую тему и просматривать её. А попросит, чтобы ответили на данной вопрос именно ему. Неважно, был ли этот вопрос задан ранее.
С другой стороны, вроде бы, на то и форум, чтобы получать быстрые ответы. Ведь и в учебнике наверняка ответ найти можно, но на форуме как-то удобнее...

я искал в учебнике. В основах матана Фихтенгольца , в Кудрявцеве , в школьных учебниках посмотрел. Ясного и четкого ответа не нашел. А по поводу того , что это уже было, прошу меня извинить. Буду искать в следующий раз тщательнее .

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Forthegreatprogress в сообщении #1086445 писал(а):
я искал в учебнике. В основах матана Фихтенгольца , в Кудрявцеве , в школьных учебниках посмотрел.

Укажите издания учебников и номера страниц в этих изданиях, на которых вы "искали" ответ на свой вопрос. Также сообщите, чему равно число $(-1)^{0.5}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 11:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Forthegreatprogress в сообщении #1086445 писал(а):
В основах матана Фихтенгольца , в Кудрявцеве , в школьных учебниках посмотрел. Ясного и четкого ответа не нашел.

В школьных учебниках этого, скорее всего, действительно не найти. Потому что достаточно всё-таки глянуть, что на этот счёт говорится у тех же Кудрявцева и Фихтенгольца. А там много чего говорится.

Фихтенгольц в начале 4-го параграфа совершенно открыто и честно определяет корни (п.18) и затем показательные функции (п.19). Правда, довольно занудно -- через сечения. Но это он не со зла: ему хочется определить элементарные функции до теории пределов. В чём, разумеется, есть резон; но получается занудновато.

Кудрявцев сознательнее -- он определяет их после пределов, справедливо надеясь на то, что к самим этим функциям читатели уже как минимум привыкли. Показательные функции он определяет не менее честно (но несколько более внятно), чем Фихтенгольц, в 7-м параграфе (п.7.2). С корнями дело обстоит немного хуже: он глубоко закопал их в п.6.3, посвящённый обратным функциям. Там корни выскакивают автоматически как следствие общей теоремы об обратной функции. И, разумеется, ровно так и надо; однако в оглавлении никаких корней не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
ewert в сообщении #1086457 писал(а):
В школьных учебниках этого, скорее всего, действительно не найти.

В школьном учебнике Мордковича даётся следующий аргумент против использования дробных степеней отрицательных чисел, даже когда соответствующий корень существует вещественный: чтобы нельзя было записать цепочку
$-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=((-1)^2)^{1/6}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1$.
С этим аргументом можно спорить, но это указание на то, что трудности возникают даже в простейших случаях. Уже со степенью $1/2$ всё ещё сложнее. Не говоря уже об иррациональных степенях.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 13:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mikhail_K в сообщении #1086474 писал(а):

В школьном учебнике Мордковича даётся следующий аргумент против использования дробных степеней отрицательных чисел,

Это -- совсем другой вопрос. В школе действительно запрещают использование дробных степеней от отрицательных чисел просто от греха подальше; по выходе из школы эту договорённость уже все гордо игнорируют. Здесь же речь о том, что произвольная степень даже от положительного числа -- штука довольно нетривиальная, и разбирательство с ней игнорируется уже в школе за невозможностью в рамках общей программы.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
ewert в сообщении #1086482 писал(а):
произвольная степень даже от положительного числа -- штука довольно нетривиальная

Это Вы про определение иррациональной степени через пределы? Кажется, у Мордковича оно есть.
Мне кажется, проще всего ответить на вопрос ТС так. Есть вещественная показательная функция - и она определена только для положительных оснований, для отрицательных её определить не удастся. Эта функция однозначная и непрерывная. И есть комплексная показательная функция - её при желании можно определить для произвольных оснований и произвольных степеней, если при этом допустить многозначность и "очень нехорошую" многозначность для иррациональных показателей. Ясно, что это просто два разных объекта с совершенно разными свойствами - вещественная и комплексная показательные функции, хотя в чём-то где-то и могут быть похожи.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 14:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mikhail_K в сообщении #1086484 писал(а):
Ясно, что это просто два разных объекта с совершенно разными свойствами - вещественная и комплексная показательные функции, хотя в чём-то где-то и могут быть похожи.

Ну не надо так уж. Свойства-то ровно одни и те же, просто вкомплексном случае требуется гораздо большая аккуратность.

Mikhail_K в сообщении #1086484 писал(а):
Это Вы про определение иррациональной степени через пределы? Кажется, у Мордковича оно есть.

Я Мордковича не читал, но усомнюсь. Как минимум полноценного определения у него быть не может. Эта в любом случае такая тягомотина, если полноценно.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
ewert в сообщении #1086486 писал(а):
Свойства-то ровно одни и те же, просто в комплексном случае требуется гораздо большая аккуратность.

Ну, это если однозначность и непрерывность не считать свойствами.
Для комплексной степени нет непрерывности в том смысле, что при сколь угодно малом шевелении показателя может измениться количество значений такой степени - при этом они могут появиться "ниоткуда", вдали от первоначальных значений.
Комплексная степень - сложный и неудобный объект; вещественная гораздо удобнее как инструмент для чего-либо.

 Профиль  
                  
 
 Re: показательная функция, логарифмическая
Сообщение28.12.2015, 14:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mikhail_K в сообщении #1086490 писал(а):
Для комплексной степени нет непрерывности в том смысле, что при сколь угодно малом шевелении показателя может измениться количество значений такой степени - при этом они могут появиться "ниоткуда",

Это неправда -- для многолистной функции непрерывность определяется в пределах листа, и ничего с ней не случается.

Да, листанул я Мордковича. Там действительно через пределы, но лишь намёками да экивоками. Что, в принципе, для первоначального знакомства и внятно, и более чем достаточно. Однако определением это всё-таки не назовёшь.

(Оффтоп)

(У него там есть одно не очень хорошее высказывание: "Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: ...". Правильно говорить: "Можно доказать, что...".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group