показательная функция, логарифмическая

[provincialka]

(Оффтоп)

Mihr я понимаю arseniiv вопрос уже столько раз обсуждался и мусолился... что остается только шутить )))

[Mihr]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1086332 писал(а):

вопрос уже столько раз обсуждался и мусолился...

Да, большинство людей не станет искать подходящую тему и просматривать её. А попросит, чтобы ответили на данной вопрос именно ему. Неважно, был ли этот вопрос задан ранее.
С другой стороны, вроде бы, на то и форум, чтобы получать быстрые ответы. Ведь и в учебнике наверняка ответ найти можно, но на форуме как-то удобнее...

[Forthegreatprogress]

Mihr в сообщении #1086358 писал(а):

Да, большинство людей не станет искать подходящую тему и просматривать её. А попросит, чтобы ответили на данной вопрос именно ему. Неважно, был ли этот вопрос задан ранее.
С другой стороны, вроде бы, на то и форум, чтобы получать быстрые ответы. Ведь и в учебнике наверняка ответ найти можно, но на форуме как-то удобнее...

я искал в учебнике. В основах матана Фихтенгольца , в Кудрявцеве , в школьных учебниках посмотрел. Ясного и четкого ответа не нашел. А по поводу того , что это уже было, прошу меня извинить. Буду искать в следующий раз тщательнее .

[Brukvalub]

Forthegreatprogress в сообщении #1086445 писал(а):

я искал в учебнике. В основах матана Фихтенгольца , в Кудрявцеве , в школьных учебниках посмотрел.

Укажите издания учебников и номера страниц в этих изданиях, на которых вы "искали" ответ на свой вопрос. Также сообщите, чему равно число $(-1)^{0.5}$.

[ewert]

Forthegreatprogress в сообщении #1086445 писал(а):

В основах матана Фихтенгольца , в Кудрявцеве , в школьных учебниках посмотрел. Ясного и четкого ответа не нашел.

В школьных учебниках этого, скорее всего, действительно не найти. Потому что достаточно всё-таки глянуть, что на этот счёт говорится у тех же Кудрявцева и Фихтенгольца. А там много чего говорится.

Фихтенгольц в начале 4-го параграфа совершенно открыто и честно определяет корни (п.18) и затем показательные функции (п.19). Правда, довольно занудно -- через сечения. Но это он не со зла: ему хочется определить элементарные функции до теории пределов. В чём, разумеется, есть резон; но получается занудновато.

Кудрявцев сознательнее -- он определяет их после пределов, справедливо надеясь на то, что к самим этим функциям читатели уже как минимум привыкли. Показательные функции он определяет не менее честно (но несколько более внятно), чем Фихтенгольц, в 7-м параграфе (п.7.2). С корнями дело обстоит немного хуже: он глубоко закопал их в п.6.3, посвящённый обратным функциям. Там корни выскакивают автоматически как следствие общей теоремы об обратной функции. И, разумеется, ровно так и надо; однако в оглавлении никаких корней не видно.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1086457 писал(а):

В школьных учебниках этого, скорее всего, действительно не найти.

В школьном учебнике Мордковича даётся следующий аргумент против использования дробных степеней отрицательных чисел, даже когда соответствующий корень существует вещественный: чтобы нельзя было записать цепочку
$-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=((-1)^2)^{1/6}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1$.
С этим аргументом можно спорить, но это указание на то, что трудности возникают даже в простейших случаях. Уже со степенью $1/2$ всё ещё сложнее. Не говоря уже об иррациональных степенях.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1086474 писал(а):

В школьном учебнике Мордковича даётся следующий аргумент против использования дробных степеней отрицательных чисел,

Это -- совсем другой вопрос. В школе действительно запрещают использование дробных степеней от отрицательных чисел просто от греха подальше; по выходе из школы эту договорённость уже все гордо игнорируют. Здесь же речь о том, что произвольная степень даже от положительного числа -- штука довольно нетривиальная, и разбирательство с ней игнорируется уже в школе за невозможностью в рамках общей программы.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1086482 писал(а):

произвольная степень даже от положительного числа -- штука довольно нетривиальная

Это Вы про определение иррациональной степени через пределы? Кажется, у Мордковича оно есть.
Мне кажется, проще всего ответить на вопрос ТС так. Есть вещественная показательная функция - и она определена только для положительных оснований, для отрицательных её определить не удастся. Эта функция однозначная и непрерывная. И есть комплексная показательная функция - её при желании можно определить для произвольных оснований и произвольных степеней, если при этом допустить многозначность и "очень нехорошую" многозначность для иррациональных показателей. Ясно, что это просто два разных объекта с совершенно разными свойствами - вещественная и комплексная показательные функции, хотя в чём-то где-то и могут быть похожи.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1086484 писал(а):

Ясно, что это просто два разных объекта с совершенно разными свойствами - вещественная и комплексная показательные функции, хотя в чём-то где-то и могут быть похожи.

Ну не надо так уж. Свойства-то ровно одни и те же, просто вкомплексном случае требуется гораздо большая аккуратность.

Mikhail_K в сообщении #1086484 писал(а):

Это Вы про определение иррациональной степени через пределы? Кажется, у Мордковича оно есть.

Я Мордковича не читал, но усомнюсь. Как минимум полноценного определения у него быть не может. Эта в любом случае такая тягомотина, если полноценно.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1086486 писал(а):

Свойства-то ровно одни и те же, просто в комплексном случае требуется гораздо большая аккуратность.

Ну, это если однозначность и непрерывность не считать свойствами.
Для комплексной степени нет непрерывности в том смысле, что при сколь угодно малом шевелении показателя может измениться количество значений такой степени - при этом они могут появиться "ниоткуда", вдали от первоначальных значений.
Комплексная степень - сложный и неудобный объект; вещественная гораздо удобнее как инструмент для чего-либо.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1086490 писал(а):

Для комплексной степени нет непрерывности в том смысле, что при сколь угодно малом шевелении показателя может измениться количество значений такой степени - при этом они могут появиться "ниоткуда",

Это неправда -- для многолистной функции непрерывность определяется в пределах листа, и ничего с ней не случается.

Да, листанул я Мордковича. Там действительно через пределы, но лишь намёками да экивоками. Что, в принципе, для первоначального знакомства и внятно, и более чем достаточно. Однако определением это всё-таки не назовёшь.

(Оффтоп)

(У него там есть одно не очень хорошее высказывание: "Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: ...". Правильно говорить: "Можно доказать, что...".