ТФКП

[dimko239]

Дана $f(z)=\int \frac {e^{it} dt} {(t^2+4)(t-z)^2} $ (Интеграл по контуру - "восьмерка", содержащая внутри точки $2i$ и $-2i$, направление обхода - отрицательное)
Сказано, что функция голоморфна в $|z-2i|<\epsilon$. Спрашивается, куда можно аналитически продолжить $f(z)$, не теряя голоморфности?

[dimko239]

Может кто-нить посоветует теорию конкретную по данной теме, латературу?

[Brukvalub]

Вопросы аналитического продолжения рассматриваются во всех классических пособиях по ТФКП:
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?st=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F+%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9+%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE+%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE&page=3
Рекомендую обратить особое внимание на №№ 4, 6, 8, 26.

[dimko239]

Во всех этих пособиях рассматривается само понятие аналитического продолжения(по крайней мере в книге Лаврентьева, Шабата точно). А хотелось бы именно что-нить связанное с конкретным типом задач.

[Brukvalub]

Каким типом задач? У Вас речь идет о производной суммы интегралов Коши:

\[ F(z) = \oint\limits_C {\frac{{f(t)dt}}{{(t - z)}}} \]

А уж вопросы поведения такого рода функций в указанных мной книгах разобраны досконально.

[dimko239]

Да, я понимаю, что это интегралы типа Коши, но честно говоря конкретно про возможность их аналитического продолжения я нигде не нашел... То есть не ясно как теорию эту теорию можно применить к решению подобных задач?

[dimko239]

$f(z)=\int_{|t|=1} \frac {e^{t+\frac 1 t} dt} {(t^2+4)(t-z)} $. Функция задана в $|z-5|<\epsilon$. Надо понять куда можно аналитически продолжить эту функцию.

По-моему, вполне очевидно, что функцию можно продолжить на пл-ть $C/ {0,2i,-2i} $(хотя не особо ясно как это обьяснить). И в точки $2i,-2i,0$ ее вроде тоже продолжить нельзя, так как первые две это полюса нашей функции, а третья - существенно особая точка.

Но такой решение(ответ) не были засчитаны.. Что тут вообще делать, с чего начать?

Добавлено спустя 2 часа 36 минут 45 секунд:

Может нам тут чем-то может помочь то, что интегралы по гомотопным путям равны там где подинтегралльная функция аналитична?

[RIP]

А чем Вам точки $\pm2i$ не угодили? По-моему, очевидно, что $f(z)$ продолжается в $\overline{\mathbb C}\setminus\{0\}$ (радиус окружности интегрирования можно сделать сколь угодно малым). А в нуле у неё существенная особенность. Или я туплю?

[dimko239]

А как мы можем продолжить функцию в $2i$ b $-2i$? Разве это не полюча нашей функции?!

[RIP]

Это полюса подынтегральной функции, но никак не нашей $f(z)$. Вы ведь знакомы с интегралом типа Коши. Основное их свойство (аналитичность вне пути интегрирования) Вам знакомо?

[maxal]

dimko239, не плодите темы по однообразным задачам, пишите в одной. Объединяю ваши темы.

[dimko239]

А верно то, что этот интеграл равен 0 вне пути интегрирования?

[RIP]

dimko239 писал(а):

А верно то, что этот интеграл равен 0 вне пути интегрирования?

Нет. С чего бы

[dimko239]

Хм. Просто я не нашел того факта, что интеграл типа Коши аналитичен вне контура интегрирования... И разве из этого напрямую следует, что он продолжим туда из нашей области? И как можно обьяснить что $z=0$ существенно особая точка для данной функции?

[Azog]

Очень рекомендую лекции проф. Белошапка на дмвне они есть. Там это подробно разобрано. Также поищите в задачнике Евграфова.