Конечные поля.

[shukshin]

Сколько в $F_{256}$ элементов порядка 85?

Вот как к ней подходить?
Навскидку подобрать многочлен 8 степени неприводимый над $F_{2}$?
Искать в таком поле примитивный $a$ и говорить, что для любого элемента поля есть разложение $ b = a^k $.
Для примитивного знаем: $a^{255} = 1$

$b^{85} = a ^{85k} = 1$
$a^k, k = 3l$, $l$ - натуральное.

[Sonic86]

Мультипликативная группа конечного поля циклична. Отсюда следует совершенно простая формула для числа элементов заданного порядка.

shukshin в сообщении #1086160 писал(а):

Навскидку подобрать многочлен 8 степени неприводимый над $F_{2}$?

Совершенно незачем.

shukshin в сообщении #1086160 писал(а):

Искать в таком поле примитивный $a$ и говорить, что для любого элемента поля есть разложение $ b = a^k $.

Можно не искать: мы уже знаем, что он есть. Можно просто взять его и все.

shukshin в сообщении #1086160 писал(а):

$b^{85} = a ^{85k} = 1$
$a^k, k = 3l$, $l$ - натуральное.

Типа такого. Отсюда - один микрошаг до ответа.

[shukshin]

Sonic86, 84 штуки. от $a^3$ до $a^{252}$
выходит так.

[AV_77]

Поменьше должно быть.

[Sonic86]

А, я немного ступил: элемент порядка $85$ не является элементом порядка $17$ и элементом порядка $5$. Т.е. здесь еще понадобится формула включений-исключений.

shukshin в сообщении #1086190 писал(а):

84 штуки. от $a^3$ до $a^{252}$

А как насчет $a^0$?

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #1086257 писал(а):

Т.е. здесь еще понадобится формула включений-исключений.

Ну что вы, здесь все проще. Надо только вспомнить сколько образующих имеет циклическая группа порядка $n$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #1086352 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1086257 писал(а):

Т.е. здесь еще понадобится формула включений-исключений.

Ну что вы, здесь все проще. Надо только вспомнить сколько образующих имеет циклическая группа порядка $n$.

Ну да, все так и получится, если применить формулу включений-исключений. У меня библиотека с теоремами в память плохо подгружается и я часто повторяю куски доказательств, если они нужны.