2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Конечные поля.
Сообщение27.12.2015, 13:35 
Сколько в $F_{256}$ элементов порядка 85?

Вот как к ней подходить?
Навскидку подобрать многочлен 8 степени неприводимый над $F_{2}$?
Искать в таком поле примитивный $a$ и говорить, что для любого элемента поля есть разложение $ b = a^k $.
Для примитивного знаем: $a^{255} = 1$

$b^{85} = a ^{85k} = 1$
$a^k, k = 3l$, $l$ - натуральное.

 
 
 
 Re: Конечные поля.
Сообщение27.12.2015, 15:15 
Мультипликативная группа конечного поля циклична. Отсюда следует совершенно простая формула для числа элементов заданного порядка.

shukshin в сообщении #1086160 писал(а):
Навскидку подобрать многочлен 8 степени неприводимый над $F_{2}$?
Совершенно незачем.

shukshin в сообщении #1086160 писал(а):
Искать в таком поле примитивный $a$ и говорить, что для любого элемента поля есть разложение $ b = a^k $.
Можно не искать: мы уже знаем, что он есть. Можно просто взять его и все.

shukshin в сообщении #1086160 писал(а):
$b^{85} = a ^{85k} = 1$
$a^k, k = 3l$, $l$ - натуральное.
Типа такого. Отсюда - один микрошаг до ответа.

 
 
 
 Re: Конечные поля.
Сообщение27.12.2015, 15:56 
Sonic86, 84 штуки. от $a^3$ до $a^{252}$
выходит так.

 
 
 
 Re: Конечные поля.
Сообщение27.12.2015, 17:24 
Поменьше должно быть.

 
 
 
 Re: Конечные поля.
Сообщение27.12.2015, 19:41 
А, я немного ступил: элемент порядка $85$ не является элементом порядка $17$ и элементом порядка $5$. Т.е. здесь еще понадобится формула включений-исключений.

shukshin в сообщении #1086190 писал(а):
84 штуки. от $a^3$ до $a^{252}$
А как насчет $a^0$?

 
 
 
 Re: Конечные поля.
Сообщение27.12.2015, 23:18 
Sonic86 в сообщении #1086257 писал(а):
Т.е. здесь еще понадобится формула включений-исключений.

Ну что вы, здесь все проще. Надо только вспомнить сколько образующих имеет циклическая группа порядка $n$.

 
 
 
 Re: Конечные поля.
Сообщение28.12.2015, 08:07 

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #1086352 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1086257 писал(а):
Т.е. здесь еще понадобится формула включений-исключений.

Ну что вы, здесь все проще. Надо только вспомнить сколько образующих имеет циклическая группа порядка $n$.
Ну да, все так и получится, если применить формулу включений-исключений. У меня библиотека с теоремами в память плохо подгружается и я часто повторяю куски доказательств, если они нужны.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group