Вавилов Н. А., д.ф.-м.н., проф. кафедры алгебры и теории чисел математико-механического факультета СПбГУ.
Лекция «Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра», прочитанная на совместном заседании Санкт-Петербургского математического общества и секции математики Дома учёных 23 марта 2010 г.
Конспект, выполненный
Anton_Peplov.
Ссылка на оригинал (внимание, час видео с хвостиком):
СсылкаТеория и практика доказательствСуществует и культивируется следующее представление о математическом доказательстве. Доказательство – это рассуждение вида «посылки → промежуточное следствие 1 → промежуточное следствие 2 →… → доказываемое утверждение.» UPD по мотивам полученного замечания: это не обязательно цепочка (Вавилов этого и не утверждает), может быть и разветвленное дерево. При этом:
1. Все посылки явно указаны.
2. Каждый переход «→» элементарен и несомненен для любого логично мыслящего человека.
2.1. Вследствие пунктов 1 и 2 проверка доказательства (в отличие от его поиска) – тривиальная процедура и может быть поручена исполнителю низкой квалификации, а проверенное доказательство гарантировано от ошибок.
3. Все опубликованные в серьезной литературе доказательства проверены и потому безошибочны.
4. Все используемые математиками посылки в конечном счете сводятся к аксиомам теории множеств. Поскольку с аксиомами теории множеств мы согласны, можно с легкой душой соглашаться со всеми доказанными результатами.
5. Методы перехода от одного утверждения к другому едины для всей математики и могут быть записаны в виде формальных правил вывода.
6. Всякое доказательство может быть формализовано и проверено компьютером, после чего сомнений в его безошибочности уж совсем не останется.
Вавилов констатирует, что для доказательств, публикующихся в математических журналах, ни один из пунктов 1-5 не верен, а пункт 6 если и верен, то только теоретически.
1. Прежде всего, не всегда явно указаны все посылки. Это относится не только к статьям, но даже и к учебникам. Так, Вавилов демонстрирует (хорошо известный –
Anton_Peplov) факт, что в стандартных курсах матанализа не отслеживается, используется ли в доказательстве аксиома выбора или нет – и очень этим возмущается. Тем более нельзя гарантировать, что все посылки явно указаны в математических статьях. Вавилов замечает, что все времена математики не были свободны от неявных посылок, которые они использовали, сами того не замечая. У нас нет никаких оснований думать, что сейчас мы видим все посылки, которые используем. По мнению Вавилова, детально разобрать текст на предмет использованных посылок можно лет через пятьдесят после того, как он написан. Культура выявления скрытых посылок отстает от переднего края математики. Что интересно, Вавилов утверждает, что более ранние тексты (столетней давности и дальше) анализировать на сей предмет так же трудно, как и свежие.
2. В учебниках (и то не всегда и не во всех) действительно расписывают доказательства так, чтобы поняла
домохозяйка первокурсник. В статьях это категорически не так. В статьях переход «промежуточное следствие 1 → промежуточное следствие 2» выглядит как «применяя метод тирьямпампации», о котором известно только специалистам и который подразумевает доказательство сорока лемм. При попытке расписать это доказательство подробно его объем превысит все разумные пределы, и его просто не примут к публикации. Поэтому доказательство в смысле математического журнала является не доказательством в смысле вышеперечисленных пяти пунктов, а только планом его построения.
2.1. Вследствие пунктов 1 и 2 проверка доказательства – столь же нетривиальная процедура, как и его поиск (Вавилов делает даже удивительное заявление, что еще более нетривиальная) и может быть поручена только очень квалифицированному исполнителю, и даже он не обязательно с ней справится. Вавилов описывает случай, когда команда из десяти рецензентов после года изучения статьи дала заключение, что ошибки не найдены, но их отсутствие не гарантировано. И даже проверенная статья не обязательно свободна от ошибок. По поводу пятистраничного решения проблемы тринадцати сфер, опубликованного в 1928 г., до сих пор идут споры, правильно оно или нет. Вавилов приводит также конкретные примеры, когда ошибки находились через 50-70 лет после публикации и признания доказательства, которое к тому времени было изложено в монографиях и учебниках (16-я и 21-я проблемы Гильберта, а также классификация унитарных представлений). По личному мнению Вавилова, 20-30% математических статей «доказывают» неверные утверждения (какой процент статей доказывает верные утверждения, но с ошибкой в доказательстве, он обещает сказать, но так и не говорит).
Тем не менее, подчеркивает Вавилов, и ошибочное доказательство может быть полезным, если доказываемый результат все-таки верен или если в доказательстве использованы новые идеи.
3. Поскольку доказательство так трудно проверить, большая их часть толком не проверяется. Рецензент одобряет работу, если его глаз не зацепился за явную ошибку, что совсем не означает, что он не пропустил ошибку неявную.
4. Понятно, что на практике математик использует в качестве посылок не аксиомы теории множеств, а любые утверждения, которые он прочел в заслуживающем доверия источнике – и притом в тех формулировках, которые он помнит. Вавилов утверждает, что большая часть ошибок в статьях связана с тем, что помнят математики зачастую неправильно, и в результате берут за посылку не то, что было опубликовано, а то, что с этим опубликованным сделала их память.
Но даже если математик сверяется с литературой, его посылкам все равно далеко по достоверности до аксиом теории множеств. Он использует в качестве посылок пятьдесят результатов, опубликованных в пятидесяти статьях; каждая из этих статей, в свою очередь, опирается на пятьдесят других статей, и так далее. Один великий Диэдр знает, сколько в этом дереве статей было допущено логических ошибок. (Добавлю от себя, что, насколько я знаю, задача сведения к аксиомам теории множеств даже классических, сто лет в обед известных теорем все еще решается. По крайней мере, использование аксиомы выбора в тривиальных теоремах о базисе линейного пространства в 1984 г. все еще было предметом исследования:
http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf. Конечно, прошло тридцать лет, это срок порядочный, но ведь и в стандартных учебниках математики хватает куда более сложных вещей, чем базис линейного пространства –
Anton_Peplov).
5. Методы доказательства, принятые в разных областях математики, могут различаться. Так, Вавилов, читая статью по топологии, обнаружил, что доказательство существенным образом использует иллюстрации, и он клянется и божится, что ни один алгебраист такого не принял бы в качестве доказательства никогда. Что не означает, что доказательство неверно, просто в голове у топологов есть какие-то методы работы с информацией, которых у алгебраистов нет. Вавилов высказывает даже сомнение, что эти методы (использующие иллюстрации) в принципе можно формализовать.
6. Вавилов утверждает, что ни одно серьезное доказательство не может быть формализовано имеющимися средствами за разумное время (нижний предел того, что он именует серьезным доказательством – классификация простых алгебр Ли). При этом он говорит это даже не в выражениях «нам не хватит ста лет и всех существующих математиков», а в выражениях «нам не хватит времени существования Вселенной и имеющегося в ней вещества». Никаких расчетов, подтверждающих столь радикальные заявления, он не приводит.
-- 30.12.2015, 00:10 --И что в итоге?
А в итоге Вавилов повторяет тезис Успенского: «доказательство – это рассуждение, убеждающее нас настолько, что мы готовы с его помощью убеждать других». Суть математического доказательства, утверждает он, в возникающем в голове математика понимании, что утверждение верно. Вавилов даже делает парадоксальное утверждение, что ошибочное доказательство, дающее такое понимание, более ценно, чем безошибочное, но выполненное на компьютере и потому непригодное для восприятия человеком.
Он не отрицает, что математика – самое достоверное из всех человеческих знаний, но говорит, что оно менее достоверно, чем мы привыкли считать. В частности, практически никто не в силах проверить серьезное математическое доказательство, и мы вынуждены довериться тем немногим специалистам, которые его проверили. (Это сближает математику с естественными науками – ведь эксперименты по проверке ОТО или клонированию тоже нельзя провести у себя на даче. Правда, в физике критерием истины в конце концов становится технология – если GPS работает, значит, ОТО верна. С математикой вопрос сложнее –
Anton_Peplov).
Как было раньше?Чтобы не возникало ощущения, что раньше деревья были большие, а колбаса – вкусная, Вавилов с удовольствием вальсирует на ошибках великих математиков прошлого, от Евклида (впрочем, приведенные в «Началах» доказательства а области теории чисел – в отличие от геометрических – Вавилов признает безупречными), до Гаусса и особенно Коши.
Кое-что об образованииВавилов говорит, что доказательства, приведенные в школьных учебниках геометрии, ошибочны (он говорит, что все, но, наверное, полемически преувеличивает). В пример он приводит неверное доказательство того, что длина окружности равна
и говорит, что верное доказательство изложить на известном школьникам языке вообще невозможно.
Основная задача школьной математики, по Вавилову – научить человека отличать то, что он понимает, от того, чего он не понимает. Справляется она с ней плохо, в результате чего многие люди не осознают того факта, что не понимают смысла слов, которые употребляют – на чем, кстати, стоит вся философия. (В том, что школьная математика с этим справляется плохо, ничего удивительного нет. Если геометрия еще худо-бедно учит рассуждать, то школьная алгебра сводится к натаскиванию на применение заученных формул, выводу которых не уделяется вообще никакого внимания. По крайней мере, так было, когда я учился в школе, и вряд ли ситуация с тех пор улучшилась –
Anton_Peplov).
Ошибки, утверждает Вавилов, встречаются и в вузовских учебниках. Так, в них говорится, что факт существования у каждого бесконечного множества счетного подмножества не зависит от аксиомы выбора, а на самом деле еще как зависит – отменив аксиому выбора, можно получить бесконечные множества без счетных подмножеств.
О философии математикиПо утверждению Вавилова, профессиональные философы, занятые философией математики, застряли на уровне дискуссий начала века и не может осмыслить последующие достижения. (Что неудивительно, ибо математического образования у них нет, с современными работами по основаниям математики они не знакомы (я, впрочем, тоже не знаком –
Anton_Peplov). Поэтому все что они могут – в стотысячный раз пережевывать тексты Рассела, Вейля, Брауэра и др., да что-то лепетать про теорему Геделя, точной формулировки которой они не могут даже воспроизвести. (Любопытно, однако, было бы узнать, какие из современных математических достижений, на взгляд Вавилова, требуют философского осмысления –
Anton_Peplov).
Ответы на вопросыПоследние 15 минут лекции – ответы на вопросы и комментарии из зала. Вопросы и комментарии большей частью … эээ… весьма невысокого уровня, в связи с чем приводить их я не стану. Впрочем, и Вавилов при ответе на один вопрос неприятно удивил, заявив, что для работы мозга существенны квантовые эффекты, «потому что было бы смешно, если бы все в природе было устроено в соответствии с квантовой механикой, а мозг нет». Это, мягко говоря, странное «потому что». Вот так: в своей области специалист суров и беспощаден – видите ли, в учебниках матана использование аксиомы выбора не отслеживают, ах, мерзавцы! – а стоило ступить чуть в сторону, как «Остапа понесло».
Личное мнение Anton_Peplov, которое никому не интересно, но он все равно его выскажетПлюсы. Вавилов очень хорошо говорит. Связно, стройно, не отвлекаясь и не растекаясь, горячо, увлекательно, полемически остро. Он талантливый лектор, без сомнения. Также порадовали конкретные примеры ошибочных доказательств, долгое время (50-70 лет) считавшихся проверенными.
Минусы. Недостатки, как водится – продолжение достоинств. Почти все, что Вавилов говорит, развенчивая пункты 1-4, «ясно даже и ежу», как говаривал товарищ Юрковский, и совершенно незачем вещать об этом с таким пафосом (впрочем, возможно, я переоцениваю ежей). Про Коши и Евклида тоже написано в любой книжке по истории математики. Новым, правда, для меня оказался п. 5 – я думал, что содержательное использование иллюстраций из математических доказательств уже изгнали. А самое скандальное заявление Вавилова – о том, что нам не хватит всей Вселенной для формализации, скажем, доказательства теоремы Ферма, предложенного Уайлсом – так и осталось голословным.
The end.
