Полиномиальные законы сохранения уравн. химической кинетики

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: в более подходящий раздел

[DLL]

Предлагаю также подумать над вопросом, а может ли эта система
\begin{cases} \dot x = k_1 (C - x) (y - x) - (k_2 + k_3) x,\\ \dot y = -k_3 x. \end{cases}
иметь рациональный первый интеграл?

Например, система также имеющая узел в $(0,0)$
\begin{cases} \dot x = -x\\ \dot y = -2 y. \end{cases}
имеет первый интеграл (естественно сингулярный в $(0,0)$), который является рациональной функцией

$$F(x,y) = \frac{x^2}{y}.$$

[olenellus]

Никто подумать, почему-то, не захотел, включая автора вопроса.

У этой системы не может быть нетривиального рационального первого интеграла. Вот как, например, можно это доказать. Что значит, что функция $I$ есть первый интеграл векторного поля $\dot x = f,\;\dot y = g$? Это значит, что

$$f I_x + g I_y = 0.$$

У нас $f = b x^2 + c x + d$ и $g = a x$, где $c$ — линейная функция $y$, а остальные коэффициенты — константы. Предположим, что $I$ имеет вид

$$I = \frac{P}{Q},$$

где $P$ и $Q$ — полиномы. Тогда условие перепишется как

$$f(P_xQ - PQ_x) = -g(P_yQ - PQ_y).$$

Будем рассматривать наши полиномы, как полиномы от $x$ над кольцом полиномов от $y$, т.е.

$$P = \sum_{i=0}^n p_i x^i,\; Q = \sum_{i=0}^m q_i x^i,$$

где $p_i$ и $q_i$ — полиномы от $y$. Тогда условие на первый интеграл примет форму

\begin{multline*} (b x^2 + cx + d) \left(\left(\sum_{i=0}^n i p_i x^{i-1}\right)\left(\sum_{i=0}^m q_i x^i\right) - \left(\sum_{i=0}^n p_i x^i\right)\left(\sum_{i=0}^m i q_i x^{i-1}\right)\right) =\\ = -ax\left(\left(\sum_{i=0}^n p'_i x^i\right)\left(\sum_{i=0}^m q_i x^i\right) - \left(\sum_{i=0}^n p_i x^i\right)\left(\sum_{i=0}^m q'_i x^i\right)\right).\end{multline*}

Посмотрим на старший порядок

$$x^{n+m+1}\colon b p_n q_m (n - m) = -a (p'_n q_m - p_n q'_m)$$

или

$$\left(\ln\frac{p_n}{q_m}\right)' = \frac{b}{a}(m-n),$$

откуда делаем вывод, что, во-первых, $n = m$, а во-вторых, $p_n = \alpha q_n$, где $\alpha$ — константа. Действительно, иначе имело бы место равенство

$$p_n = \alpha e^{\frac{b(m-n)}{a}y} q_m,$$

что невозможно при неравных $m$ и $n$, так как $p_n$ и $q_m$ — полиномы от $y$. Вариант с $p_n \equiv 0$ или с $q_m \equiv 0$, который тоже формально подходит, не годится, так как мы предположили, что это старший порядок.

Теперь предположим, что от $n$ до $k+1$ включительно имеют место равенства $p_i = \alpha q_i$. С этим предположением напишем равенство для порядка $n+k+1$

$$x^{n+k+1}\colon b (n - k) q_n (\alpha q_k - p_k) = -a (q'_n (\alpha q_k - p_k) - q_n (\alpha q_k - p_k)').$$

Всё остальное сократилось благодаря предположению. Отсюда имеем

$$\left(\frac{\alpha q_k - p_k}{q_n}\right)' = \frac{a}{b(k - n)}\left(\frac{\alpha q_k - p_k}{q_n}\right),$$

и так как $q_n \neq 0$, делаем вывод, что $p_k = \alpha q_k$, опять используя аргумент о трансцендентности и алгебраичности. Таким образом, получаем $P = \alpha Q$ и $I \equiv \alpha$. Что и требовалось доказать.

(Исправил опечатку в формуле.)

[DLL]

Вроде все так. Спасибо!