Никто подумать, почему-то, не захотел, включая автора вопроса.
У этой системы не может быть нетривиального рационального первого интеграла. Вот как, например, можно это доказать. Что значит, что функция

есть первый интеграл векторного поля

? Это значит, что

У нас

и

, где

— линейная функция

, а остальные коэффициенты — константы. Предположим, что

имеет вид

где

и

— полиномы. Тогда условие перепишется как

Будем рассматривать наши полиномы, как полиномы от

над кольцом полиномов от

, т.е.

где

и

— полиномы от

. Тогда условие на первый интеграл примет форму

Посмотрим на старший порядок

или

откуда делаем вывод, что, во-первых,

, а во-вторых,

, где

— константа. Действительно, иначе имело бы место равенство

что невозможно при неравных

и

, так как

и

— полиномы от

. Вариант с

или с

, который тоже формально подходит, не годится, так как мы предположили, что это старший порядок.
Теперь предположим, что от

до

включительно имеют место равенства

. С этим предположением напишем равенство для порядка


Всё остальное сократилось благодаря предположению. Отсюда имеем

и так как

, делаем вывод, что

, опять используя аргумент о трансцендентности и алгебраичности. Таким образом, получаем

и

. Что и требовалось доказать.
(Исправил опечатку в формуле.)