2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Posted automatically
Сообщение30.09.2015, 13:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: в более подходящий раздел

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальные законы сохранения уравн. химической кинетики
Сообщение04.11.2015, 19:54 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Предлагаю также подумать над вопросом, а может ли эта система
\begin{cases}
\dot x = k_1 (C - x) (y - x) - (k_2 + k_3) x,\\
\dot y = -k_3 x.
\end{cases}
иметь рациональный первый интеграл?

Например, система также имеющая узел в $(0,0)$
\begin{cases}
\dot x = -x\\
\dot y = -2 y.
\end{cases}
имеет первый интеграл (естественно сингулярный в $(0,0)$), который является рациональной функцией
$$F(x,y) = \frac{x^2}{y}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальные законы сохранения уравн. химической кинетики
Сообщение22.12.2015, 04:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Никто подумать, почему-то, не захотел, включая автора вопроса.

У этой системы не может быть нетривиального рационального первого интеграла. Вот как, например, можно это доказать. Что значит, что функция $I$ есть первый интеграл векторного поля $\dot x = f,\;\dot y = g$? Это значит, что
$$f I_x + g I_y = 0.$$
У нас $f = b x^2 + c x + d$ и $g = a x$, где $c$ — линейная функция $y$, а остальные коэффициенты — константы. Предположим, что $I$ имеет вид
$$I = \frac{P}{Q},$$
где $P$ и $Q$ — полиномы. Тогда условие перепишется как
$$f(P_xQ - PQ_x) = -g(P_yQ - PQ_y).$$
Будем рассматривать наши полиномы, как полиномы от $x$ над кольцом полиномов от $y$, т.е.
$$P = \sum_{i=0}^n p_i x^i,\; Q = \sum_{i=0}^m q_i x^i,$$
где $p_i$ и $q_i$ — полиномы от $y$. Тогда условие на первый интеграл примет форму

\begin{multline*}
(b x^2 + cx + d) \left(\left(\sum_{i=0}^n i p_i x^{i-1}\right)\left(\sum_{i=0}^m q_i x^i\right) - 
\left(\sum_{i=0}^n p_i x^i\right)\left(\sum_{i=0}^m i q_i x^{i-1}\right)\right) =\\ 
= -ax\left(\left(\sum_{i=0}^n p'_i x^i\right)\left(\sum_{i=0}^m q_i x^i\right) -
\left(\sum_{i=0}^n p_i x^i\right)\left(\sum_{i=0}^m q'_i x^i\right)\right).\end{multline*}

Посмотрим на старший порядок
$$x^{n+m+1}\colon b p_n q_m (n - m) = -a (p'_n q_m - p_n q'_m)$$
или
$$\left(\ln\frac{p_n}{q_m}\right)' = \frac{b}{a}(m-n),$$
откуда делаем вывод, что, во-первых, $n = m$, а во-вторых, $p_n = \alpha q_n$, где $\alpha$ — константа. Действительно, иначе имело бы место равенство
$$p_n = \alpha e^{\frac{b(m-n)}{a}y} q_m,$$
что невозможно при неравных $m$ и $n$, так как $p_n$ и $q_m$ — полиномы от $y$. Вариант с $p_n \equiv 0$ или с $q_m \equiv 0$, который тоже формально подходит, не годится, так как мы предположили, что это старший порядок.

Теперь предположим, что от $n$ до $k+1$ включительно имеют место равенства $p_i = \alpha q_i$. С этим предположением напишем равенство для порядка $n+k+1$
$$x^{n+k+1}\colon b (n - k) q_n (\alpha q_k - p_k) = -a (q'_n (\alpha q_k - p_k) - q_n (\alpha q_k - p_k)').$$
Всё остальное сократилось благодаря предположению. Отсюда имеем
$$\left(\frac{\alpha q_k - p_k}{q_n}\right)' = \frac{a}{b(k - n)}\left(\frac{\alpha q_k - p_k}{q_n}\right),$$
и так как $q_n \neq 0$, делаем вывод, что $p_k = \alpha q_k$, опять используя аргумент о трансцендентности и алгебраичности. Таким образом, получаем $P = \alpha Q$ и $I \equiv \alpha$. Что и требовалось доказать.

(Исправил опечатку в формуле.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальные законы сохранения уравн. химической кинетики
Сообщение23.12.2015, 22:57 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Вроде все так. Спасибо! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group