2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 14:17 


20/09/15
49
Дано задание: вычислить $\sqrt[5]{33}$ с точностью до $10^{-4}$ с помощью рядов Маклорена.
Я понимаю задания подобного типа так: я беру остаточный член в форме Лагранжа и, чаще всего подбором, решаю неравенство "остаточный член меньше заданной точности". Обычно все выходило нормально. Тут, после некоторых преобразований, я получаю, если я верно считаю, такой остаточный член:
$\frac{2*(5n-1)!}{(n+1)!32^{n+1}5^{n+1}}$ Двойка в начале - это из-за представления корня пятой степени в виде: $\sqrt[5]{33}=2(1+\frac{1}{32})^{1/5}$.
Так вот, решаю решая неравенство $\frac{2*(5n-1)!}{(n+1)!32^{n+1}5^{n+1}}<10^{-4}$, получается, что таких n нет. Я перебрал в wolfram'e несколько членов, и выяснилось, что для заданной точности хватит 3-х первых членов, то бишь $n=2$. Но при $n=2$ неравенство не выполняется. Подскажите, в чем проблема?
 i  Не пишите звездочки вместо знака умножения. Чаще всего вообще ничего не надо писать. Но если уж очень надо - вот \cdot

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
GrandCube в сообщении #1083883 писал(а):
если я верно считаю, такой остаточный член:
$\frac{2(5n-1)!}{(n+1)!32^{n+1}5^{n+1}}$

Вы неверно выписали остаточный член.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 15:10 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Может быть, проще воспользоваться тем, что ряд знакопеременный? Оценка остатка для ряда Лейбница (коим данный является) выглядит заметно проще.

Ну и хотелось бы посмотреть на выкладки, которые привели к появлению остаточного члена в таком виде. Похоже, что там ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 20:05 


20/09/15
49
Простите за долгий ответ, пожалуйста. Остаточный член получил так: $\frac{\frac{1}{5}(\frac{1}{5}-1)...(\frac{1}{5}-n)}{(n+1)!}*\frac{1}{32}^{n+1}$ Вынес 1/5, пятерка в степени n+1 ушло в знаменатель, в числителе осталось $(5n-1)!$

Про признак Лейбница не говорили. Если принцип несложно объяснить, буду очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
GrandCube в сообщении #1084075 писал(а):
Вынес 1/5, пятерка в степени n+1 ушло в знаменатель, в числителе осталось $(5n-1)!$
Нет, в числителе этого не осталось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 20:54 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
GrandCube в сообщении #1084075 писал(а):
Про признак Лейбница не говорили. Если принцип несложно объяснить, буду очень благодарен.
Несложно. Если в знакопеременном ряду модуль члена невозрастает с ростом номера и стремится к нулю при $n \to \infty$, то такой ряд сходится, причем (и именно это нам и нужно) его остаток будет меньше первого отброшенного слагаемого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 20:57 


20/09/15
49
Подскажите пожалуйста, что осталось тогда? $(1-5n)!$? Нам же нужно по модулю сравнивать, знак не влияет, насколько я понимаю?

-- 20.12.2015, 20:58 --

Pphantom, я не совсем понимаю, как это сделать в данном случае. Раскладывать до n-го члена и смотреть точность до десятитысячной?

-- 20.12.2015, 21:00 --

И еще, скажите пожалуйста, я должен до n+1 производной расписать остаточный член? И в косинусе и подобных ему получается n, а не n+1, т.к. там первый член разложения единица?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
GrandCube в сообщении #1084093 писал(а):
Подскажите пожалуйста, что осталось тогда? $(1-5n)!$?

Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:04 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
GrandCube в сообщении #1084093 писал(а):
Подскажите пожалуйста, что осталось тогда? $(1-5n)!$? Нам же нужно по модулю сравнивать, знак не влияет, насколько я понимаю?

Возьмите, например, $n = 3$ и сравните что должно быть с $(5n-1)!$, пусть даже и с модулем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
GrandCube в сообщении #1084093 писал(а):
Pphantom, я не совсем понимаю, как это сделать в данном случае. Раскладывать до n-го члена и смотреть точность до десятитысячной?
Записать выражение для $n$-ого члена и подумать, при каком $n$ оно меньше $10^{-4}$. Хотя, честно говоря, при наличии общих представлений о том, как может выглядеть ряд Маклорена, ответ $n=2$ получается просто в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:19 


20/09/15
49
Хм, а я разве не так делаю? Беру общий вид в разложении Маклорена и оцениваю?

-- 20.12.2015, 21:21 --

AV_77, в смысле что должно быть? С возрастанием n увеличивается значение, причём быстрее гораздо, чем знаменатель

-- 20.12.2015, 21:22 --

Ещё, если несложно, скажите пожалуйста, зачем нужна "тета" в остаточном члене в форме Лагранжа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
GrandCube в сообщении #1084101 писал(а):
Хм, а я разве не так делаю? Беру общий вид в разложении Маклорена и оцениваю?

Вы ошибочно выписываете вид этого члена, остальное уже не играет роли. Вот, если, забивая гвоздь, все время попадать мимо гвоздя, то, вроде, и делаешь все правильно, а гвоздь все равно не забивается... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:35 


20/09/15
49
Так, ладно, попробую попасть по гвоздю. Вот это верно: $\frac{\frac{1}{5}(\frac{1}{5}-1)...(\frac{1}{5}-n)(1+\Theta\frac{1}{32})^{\frac{1}{5}-(n+1)}(\frac{1}{32})^{n+1}}{(n+1)!}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Так - почти верно, раньше вы еще двойку в числителе писАли, а сейчас - потеряли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью до
Сообщение20.12.2015, 22:05 


20/09/15
49
Хорошо, вот я ее добавил. А как вынести одну пятую правильно? Я что- то не могу сообразить, как задать формулой $(1-5)(1-10)...(1-5n)$

И еще, простите, но очень хотелось бы узнать про тету. Я ее взял за нуль (был бы благодарен, если бы вы мне объяснили, зачем в форме Лагранжа тета. Она определяет окрестность точки?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group