Вычислить с точностью до

[GrandCube]

Дано задание: вычислить $\sqrt[5]{33}$ с точностью до $10^{-4}$ с помощью рядов Маклорена.
Я понимаю задания подобного типа так: я беру остаточный член в форме Лагранжа и, чаще всего подбором, решаю неравенство "остаточный член меньше заданной точности". Обычно все выходило нормально. Тут, после некоторых преобразований, я получаю, если я верно считаю, такой остаточный член:
$\frac{2*(5n-1)!}{(n+1)!32^{n+1}5^{n+1}}$ Двойка в начале - это из-за представления корня пятой степени в виде: $\sqrt[5]{33}=2(1+\frac{1}{32})^{1/5}$.
Так вот, решаю решая неравенство $\frac{2*(5n-1)!}{(n+1)!32^{n+1}5^{n+1}}<10^{-4}$, получается, что таких n нет. Я перебрал в wolfram'e несколько членов, и выяснилось, что для заданной точности хватит 3-х первых членов, то бишь $n=2$. Но при $n=2$ неравенство не выполняется. Подскажите, в чем проблема?

Не пишите звездочки вместо знака умножения. Чаще всего вообще ничего не надо писать. Но если уж очень надо - вот \cdot

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1083883 писал(а):

если я верно считаю, такой остаточный член:
$\frac{2(5n-1)!}{(n+1)!32^{n+1}5^{n+1}}$

Вы неверно выписали остаточный член.

[Pphantom]

Может быть, проще воспользоваться тем, что ряд знакопеременный? Оценка остатка для ряда Лейбница (коим данный является) выглядит заметно проще.

Ну и хотелось бы посмотреть на выкладки, которые привели к появлению остаточного члена в таком виде. Похоже, что там ошибка.

[GrandCube]

Простите за долгий ответ, пожалуйста. Остаточный член получил так: $\frac{\frac{1}{5}(\frac{1}{5}-1)...(\frac{1}{5}-n)}{(n+1)!}*\frac{1}{32}^{n+1}$ Вынес 1/5, пятерка в степени n+1 ушло в знаменатель, в числителе осталось $(5n-1)!$

Про признак Лейбница не говорили. Если принцип несложно объяснить, буду очень благодарен.

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1084075 писал(а):

Вынес 1/5, пятерка в степени n+1 ушло в знаменатель, в числителе осталось $(5n-1)!$

Нет, в числителе этого не осталось.

[Pphantom]

GrandCube в сообщении #1084075 писал(а):

Про признак Лейбница не говорили. Если принцип несложно объяснить, буду очень благодарен.

Несложно. Если в знакопеременном ряду модуль члена невозрастает с ростом номера и стремится к нулю при $n \to \infty$, то такой ряд сходится, причем (и именно это нам и нужно) его остаток будет меньше первого отброшенного слагаемого.

[GrandCube]

Подскажите пожалуйста, что осталось тогда? $(1-5n)!$? Нам же нужно по модулю сравнивать, знак не влияет, насколько я понимаю?

-- 20.12.2015, 20:58 --

Pphantom, я не совсем понимаю, как это сделать в данном случае. Раскладывать до n-го члена и смотреть точность до десятитысячной?

-- 20.12.2015, 21:00 --

И еще, скажите пожалуйста, я должен до n+1 производной расписать остаточный член? И в косинусе и подобных ему получается n, а не n+1, т.к. там первый член разложения единица?

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1084093 писал(а):

Подскажите пожалуйста, что осталось тогда? $(1-5n)!$?

Нет.

[AV_77]

GrandCube в сообщении #1084093 писал(а):

Подскажите пожалуйста, что осталось тогда? $(1-5n)!$? Нам же нужно по модулю сравнивать, знак не влияет, насколько я понимаю?

Возьмите, например, $n = 3$ и сравните что должно быть с $(5n-1)!$, пусть даже и с модулем.

[Pphantom]

GrandCube в сообщении #1084093 писал(а):

Pphantom, я не совсем понимаю, как это сделать в данном случае. Раскладывать до n-го члена и смотреть точность до десятитысячной?

Записать выражение для $n$-ого члена и подумать, при каком $n$ оно меньше $10^{-4}$. Хотя, честно говоря, при наличии общих представлений о том, как может выглядеть ряд Маклорена, ответ $n=2$ получается просто в уме.

[GrandCube]

Хм, а я разве не так делаю? Беру общий вид в разложении Маклорена и оцениваю?

-- 20.12.2015, 21:21 --

AV_77, в смысле что должно быть? С возрастанием n увеличивается значение, причём быстрее гораздо, чем знаменатель

-- 20.12.2015, 21:22 --

Ещё, если несложно, скажите пожалуйста, зачем нужна "тета" в остаточном члене в форме Лагранжа?

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1084101 писал(а):

Хм, а я разве не так делаю? Беру общий вид в разложении Маклорена и оцениваю?

Вы ошибочно выписываете вид этого члена, остальное уже не играет роли. Вот, если, забивая гвоздь, все время попадать мимо гвоздя, то, вроде, и делаешь все правильно, а гвоздь все равно не забивается...

[GrandCube]

Так, ладно, попробую попасть по гвоздю. Вот это верно: $\frac{\frac{1}{5}(\frac{1}{5}-1)...(\frac{1}{5}-n)(1+\Theta\frac{1}{32})^{\frac{1}{5}-(n+1)}(\frac{1}{32})^{n+1}}{(n+1)!}$?

[Brukvalub]

Так - почти верно, раньше вы еще двойку в числителе писАли, а сейчас - потеряли.

[GrandCube]

Хорошо, вот я ее добавил. А как вынести одну пятую правильно? Я что- то не могу сообразить, как задать формулой $(1-5)(1-10)...(1-5n)$

И еще, простите, но очень хотелось бы узнать про тету. Я ее взял за нуль (был бы благодарен, если бы вы мне объяснили, зачем в форме Лагранжа тета. Она определяет окрестность точки?)