Понятно, что рассматриваемые вопросы зависят только от формы, но не от размеров треугольника. Поэтому задача является двухпараметрической. Но сами параметры можно выбирать по-разному. Подход, который еще со времен задачи ММ80 предпочитаю я, нравится мне своей наглядностью - на рисунке представлены сами изучаемые треугольники, а не их характеристики. Удивительно, что я ни разу не встречал такой параметризации в литературе (она встречалась в решении задачи ММ80, присланном Виктором Филимоненковым, но в этом туре Виктор сошел с дистанции посреди этапа :( ).
Я обычно назначаю параметрами именно координаты точек, потому что с векторами работать удобнее. И в этой задаче я тоже сначала попробовал использованную Вами параметризацию, но мне не понравились формулы для биссектрис, поэтому выбрал параметризацию, использованную Анатолием Казмерчуком. Без особых изменений формул можно было бы и зафиксировать не сторону c, а сторону b (если зафиксировать сторону a, то одна из вершин ОДЗ улетает в бесконечность). А вот параметризация двумя углами не пригодна для исследования вырожденных треугольников. Понятно, что все пригодные параметризации порождают изоморфные отношения смежности областей, разница только в формулах. Так как я предполагал решать уравнения численно, то требовалось, чтобы в формулах не было потерь точности вычислений, например, не было вычитания близких чисел.
Вообще, все три опубликованных решения, по сути, одинаковы, отличаются только акцентами на тех или иных подробностях. С обобщением задачи - та же история. Как и Анатолий, я тоже рассмотрел возможность добавления и других характерных для треугольника длин, и тоже решил, что задача и без того достаточно объёмна и содержит достаточно ловушек. Причём, вырожденные и равнобедренные треугольники оказались просты для исследования (кроме одной "капризной" точки) и допускают решение в радикалах, а все ловушки располагаются в области невырожденных разносторонних треугольников.
Для меня первым "сюрпризом" оказалось поведение кривой
, вторым - поведение кривой
. Очень порадовала точка пересечения трёх кривых. Жаль, что она оказалась единственной. Точка пересечения кривых
и
отстоит довольно далеко от угла области (хотя и близко к границе), поэтому обнаруживается без особого труда. Три микрообласти, расположенные близко к углам, потребовали применения мелкоскопа, а "на сладкое" выпало доказательство отсутствия других пересечений.
К стыду своему, я не люблю (и, соответственно, не умею) пользоваться математическими пакетами, а всё, что требуется, программирую сам на С++. Это отражается на способах решения и объяснения задач, но об этом - в другом сообщении.
Цитата:
Любопытно, что среди тупоугольных треугольников представлены все 56 возможных классов невырожденных треугольников. Если допустить к рассмотрению вырожденные треугольники, то среди тупоугольных будут представлены 62 класса.
Не могу согласиться с этим утверждением, так как тупоугольными треугольниками не представлена область 16 (в Вашей нумерации), два ограничивающих её отрезка кривых и две точки на границе области.
-- 18.12.2015, 09:14 --Теперь по задачам тура. При решении задач я традиционно пользуюсь компьютером. Машинка помогает найти закономерность в последовательности, подтвердить (индуктивно) или опровергнуть гипотезу, проанализировать, как часто встречаются рассматриваемые в задаче числа или другие обьекты. Даже если задача кажется совсем простой, я обычно проверяю правильность решения с помощью компьютера. Это, например, помогло мне обнаружить ошибку в первом варианте решения задачи ММ201.
Поэтому объявление ориентированности тура на использование компьютера меня воодушевило. К сожалению, эта ориентированность оказалась не на алгоритмы, а на численные расчёты.
Первые 4 задачи решались и без компьютера. Вероятно, поэтому и привлекли «могучую кучку» марафонцев. Мне понравилась задача ММ202, а особенно, ММ203, хотя куда в ММ203 применить компьютер – загадка. А вот ММ204 огорчила. Избыточное условие, решение практически в одну строку и сомнительность возможности хоть какого-то обобщения. Наверное, по этой причине задача ММ204 отсутствует в сводной таблице, а вместо неё обнаруживается знаменитая ошибка «страница не найдена».
Задача ММ205 уже потребовала машинного поиска. Хоть рассматриваемые числа оказались и не очень большими, число участников сразу уменьшилось.
А вот ММ206 уже потребовала рассмотрения больших чисел. Как я уже писал, математическими пакетами я не пользуюсь, а собственную арифметику длинных чисел дописать не успел, поэтому задачу пришлось пропустить, хотя задача хорошая.
ММ207 не требовала проверки длинных чисел на простоту, поэтому решить её удалось. Задача понравилась, с удовольствием повозился с таблицами представлений.
В ММ208 наконец-то потребовался алгоритм. Так как без использования перебора справиться с этой задачей затруднительно, было решено перебором и обойтись. Грамотно организованные отсечения ветвей позволили провести исчерпывающий перебор в пространстве 15 параметров всего за 5 секунд. Не потребовалось рассмотрения никаких фиксированных множеств, никаких перестановок, всё легко и просто. И очень неожиданно было получить обвинения в «очевидном-невероятном».
С удовольствием повозился с ММ209.
ММ210 поначалу показалась слишком простой для заключительной задачи тура, но потом стали обнаруживаться «сюрпризы».
В целом, ориентированность задач на численные расчёты, да ещё и в длинных числах считаю не очень хорошей идеей, но само продолжение Марафона, безусловно, радует. Ведущему огромное спасибо!
(1). Между тем, рассмотрение набора 
необходимо, поскольку наименьшее число, допускающее требуемое представление в помощью данного набора, меньшее чем число 44813, являющееся ответом к задаче.
- натуральные числа, причем 
, 
и 
больше 1. Натуральное число 
будем называть 
, если 
цифр, повторенной 
для любого 
число, записанное двумя единицами, будет точной s-й степенью.
для каждого основания 
существует бесконечно много оснований 
существует бесконечно много оснований 
существует бесконечно много оснований 
вопрос о конечности числа реппауэров (трехзначных полукубов в старой терминологии) открыт. При этом отдельные примеры реппауэров с такими характеристиками встречаются довольно часто:
(случай двузначных третьквадратов в старой терминологии) картина аналогична: есть примеры реппауэров, но неизвестно, конечно ли их число: 
:
имеется, много примеров реппауэров, но неизвестно, конечно ли это множество:
, таких что при 
. А это противоречит утверждению abc-гипотезы, которая, 
- множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем 
и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)
