Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)

[1r0pb]

Добрый день.
Хотелось бы консультироваться по теме "методы безусловной минимизации".

1. Доказать, что:
а) $\bigtriangledown \lVert x \rVert=x/\lVert x \rVert$ при $x \neq 0$; при $x=0$ функция $\lVert x \rVert$ недифференцируема;
б) $\bigtriangledown {\lVert x_+ \rVert}^{2}=2x_+$.

комментарии:

(Оффтоп)

Опр. $f:\ {\mathbb R}^{n}\rightarrow {\mathbb R}^{1}$ наз-ся дифференцируемой в точке $x$, если найдется вектор $a\in {\mathbb R}^{n}$ такой, что для всех $y\in {\mathbb R}^{n}$

$f(x+y)=f(x)+(a,y)+o(y)$, где вектор $a=\bigtriangledown f(x)$.

а) Пробовал напрямую, опираясь на данное определение, но продвижения не увидел:

$\lVert x+y \rVert =\lVert x \rVert + \lVert x+y \rVert -\lVert x \rVert =$ ?

Решил иначе пойти:

$f^2(x)={\lVert x \rVert}^{2}=(x,x)\Rightarrow f^2(x+y)=(x+y,x+y)=(x,x)+(2x,y)+(y,y)=f^2(x)+(2x,y)+{\lVert y \rVert}^{2}={f}^{2}(x)+(2x,y)+o(y)\Rightarrow \bigtriangledown f^2(x)=2f(x)\cdot \bigtriangledown f(x)=2\lVert x \rVert \bigtriangledown f(x)=2x\Rightarrow \bigtriangledown f(x)=x/ \lVert x \rVert $.

Можно ли так делать?

б) хочется сначала с а) разобраться. )

Вопрос: что с ТеХ'ом? Переносит по-разному и отступы делает, которые не прошу.

[popolznev]

По определению (пользуясь тем, что $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$): надо доказать (при условии $x \ne 0$), что

$$\|x+y\| - \|x\| -\left\langle \frac{x}{\|x\|},y\right\rangle = o(\|y\|).$$

Обозначим конструкцию в левой части через $\alpha(x,y)$:

$$\alpha(x,y) =\sqrt{\langle x+y,x+y \rangle} - \sqrt{\langle x,x \rangle} - \frac{1}{\sqrt{\langle x,x \rangle}} \langle x,y \rangle.$$

Умножить это равенство на $\sqrt{\langle x,x \rangle}$, потом немного попреобразовывать --- думаю, получится вывести, что $\alpha(x,y) = o(\|y\|)$.

-- 17.12.2015, 10:53 --

А с ТеХом: после слов "иначе пойти" двойные доллары поставьте, он будет обрабатывать формулу как выключную (в отдельной строке).

[1r0pb]

popolznev следуя Вашему совету получил, используя нер-во Коши-Буняковского, такую оценку:

$$|\alpha (x,y)|\leq \frac{2{\rVert x \lVert}^{2}{\rVert y \lVert}^{2}}{\rVert x \lVert\rVert x+y \lVert+(x,x+y)}\Rightarrow \alpha (x,y)=o(\rVert y \lVert).$$

Вроде не ошибся.

-- Чт дек 17, 2015 16:58:30 --

popolznev в сообщении #1082916 писал(а):

-- 17.12.2015, 10:53 --

А с ТеХом: после слов "иначе пойти" двойные доллары поставьте, он будет обрабатывать формулу как выключную (в отдельной строке).

Спасибо. Он центрировать опять пытается. )

[Munin]

popolznev в сообщении #1082916 писал(а):

А с ТеХом: после слов "иначе пойти" двойные доллары поставьте, он будет обрабатывать формулу как выключную (в отдельной строке).

Тогда формула просто не поместится целиком.
Слишком длинные цепочки надо разрывать на части вручную. Можно просто записать несколько последовательных строчек формул - в одинарных или в двойных долларах - это проще всего для начинающих. Можно использовать окружения, например, align / aligned, gather / gathered, array и т. п. - это для красоты.

[1r0pb]

Munin, спасибо за совет. Остановлюсь на варианте

Munin в сообщении #1082974 писал(а):

Можно просто записать несколько последовательных строчек формул - в одинарных или в двойных формулах - это проще всего для начинающих.

[popolznev]

Munin в сообщении #1082974 писал(а):

Тогда формула просто не поместится целиком.

Да, я просто не врубился, что проблема-то именно в этом.

-- 18.12.2015, 01:17 --

1r0pb в сообщении #1082965 писал(а):

Вроде не ошибся.

Ага.

1r0pb в сообщении #1082965 писал(а):

Спасибо. Он центрировать опять пытается. )

Да, выключные формулы центрирует. Так это ж хорошо.

[Munin]

В принципе, можно заставить местный LaTeX написать выключную формулу, и не центрировать её. Два варианта: либо сразу после одиночного доллара написать \displaystyle; либо вообще не писать долларов, а окружить формулу в [ math ] \[ \] [ /math ]. Дело в том, что скобки \[ \] эквивалентны двойным долларам для LaTeX, но не для форумного движка, который ищет и распознаёт только двойные доллары, чтобы их центрировать средствами HTML. Так же можно использовать и "бездолларовые" окружения, типа equation.

-- 18.12.2015 05:02:39 --

P. S. Ну и для красоты, даже если вы не центрируете формулу, её можно заключить в тег [ list ] [ /list ], чтобы она печаталась с отступом от края.

[1r0pb]

Munin еще раз спасибо. Буду варьировать.
А вот как показать отсутствие дифференцируемости в нуле? То есть показать, что

$$\rVert y \lVert-(a,y)\not =o(\rVert y \lVert).$$

[popolznev]

1r0pb в сообщении #1083209 писал(а):

Munin еще раз спасибо. Буду варьировать.
А вот как показать отсутствие дифференцируемости в нуле? То есть показать, что

$$\rVert y \lVert-(a,y)\not =o(\rVert y \lVert).$$

А что это за $(a,y)$? Приращение функции равно

$$\|0+y\|-\|0\| = \|y\|.$$

[1r0pb]

popolznev, ну ведь $(a,y)$ есть предполагаемое $(\triangledown \rVert x \lVert,y)$.

[popolznev]

А, в этом смысле! Я не понял сразу. Ну вот да, надо показать, что ни при каком $a$ не получится, что $\|y\|=(a,y)+o(\|y\|)$.

[1r0pb]

Предположим дифференцируемость в нуле. Возьмем $y=\rVert \varepsilon \lVert (1,1,...,1)$. Откуда

$$\rVert \varepsilon \lVert \sqrt{n}=\rVert \varepsilon \lVert (a,1)+o(\rVert \varepsilon \lVert \sqrt{n})\Rightarrow 1=\frac{1}{\sqrt{n}}(a,1)+o(1).$$

Т.е. $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\sqrt{n}}=1+o{(1)}$, которое представимо неоднозначно, что противоречит дифференцируемости.

[popolznev]

Стоп, здесь как-то всё не то.

Во-1, если у вас $\varepsilon$ --- одномерный параметр, который будет стремиться к нулю, то зачем окружать его знаком нормы?

Во-2, равенство $(a_1+\ldots+a_n)/\sqrt{n} = 1 + o(1)$ как раз может спокойно выполняться.

Сузить функционал на прямую, то есть рассматривать приращения вида $\varepsilon \cdot h$, Где $h$ --- постоянный вектор, вполне можно. Одномерный модуль получится. Надо только культурно записать, почему модуль не дифференцируем в нуле.

[1r0pb]

popolznev, да, норму по ошибке написал. Равенство, конечно, может выполняться, но ведь это представление не единственное?
Тогда, возможно, так:

$$\lim_{h>0,\ \varepsilon \rightarrow 0+}\frac{|0+\varepsilon h|-|0|}{\varepsilon h}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\frac{|\varepsilon |h}{\varepsilon h}=+1,$$

$$\lim_{h>0,\ \varepsilon \rightarrow 0-}\frac{|0+\varepsilon h|-|0|}{\varepsilon h}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\frac{|\varepsilon |h}{\varepsilon h}=-1.$$

Ну вывод понятен в таком случае.

[popolznev]

1r0pb
Неединственность там ни при чем. Для конкретного направления приращения единственности и не будет (кроме одномерного случая).

Насчет ваших выкладок: идея, опять же, ясна, но определение производной-то у нас не такое. И вы как будто на вектор делите (это, конечно, не имеет смысла).