2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение17.12.2015, 10:17 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Добрый день.
Хотелось бы консультироваться по теме "методы безусловной минимизации".

1. Доказать, что:
а) $\bigtriangledown \lVert x \rVert=x/\lVert x \rVert$ при $x \neq 0$; при $x=0$ функция $\lVert x \rVert$ недифференцируема;
б) $\bigtriangledown {\lVert x_+ \rVert}^{2}=2x_+$.


комментарии:

(Оффтоп)

Опр. $f:\ {\mathbb R}^{n}\rightarrow {\mathbb R}^{1}$ наз-ся дифференцируемой в точке $x$, если найдется вектор $a\in {\mathbb R}^{n}$ такой, что для всех $y\in {\mathbb R}^{n}$

$f(x+y)=f(x)+(a,y)+o(y)$, где вектор $a=\bigtriangledown f(x)$.


а) Пробовал напрямую, опираясь на данное определение, но продвижения не увидел:

$\lVert x+y \rVert =\lVert x \rVert + \lVert x+y \rVert -\lVert x \rVert =$ ?

Решил иначе пойти:

$f^2(x)={\lVert x \rVert}^{2}=(x,x)\Rightarrow f^2(x+y)=(x+y,x+y)=(x,x)+(2x,y)+(y,y)=f^2(x)+(2x,y)+{\lVert y \rVert}^{2}={f}^{2}(x)+(2x,y)+o(y)\Rightarrow \bigtriangledown f^2(x)=2f(x)\cdot \bigtriangledown f(x)=2\lVert x \rVert \bigtriangledown f(x)=2x\Rightarrow \bigtriangledown f(x)=x/ \lVert x \rVert $.

Можно ли так делать?

б) хочется сначала с а) разобраться. )


Вопрос: что с ТеХ'ом? Переносит по-разному и отступы делает, которые не прошу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение17.12.2015, 10:51 
Аватара пользователя


14/10/13
339
По определению (пользуясь тем, что $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$): надо доказать (при условии $x \ne 0$), что
$$\|x+y\| - \|x\| -\left\langle \frac{x}{\|x\|},y\right\rangle = o(\|y\|).$$
Обозначим конструкцию в левой части через $\alpha(x,y)$:
$$\alpha(x,y) =\sqrt{\langle x+y,x+y \rangle} - \sqrt{\langle x,x \rangle} - \frac{1}{\sqrt{\langle x,x \rangle}} \langle x,y \rangle.$$
Умножить это равенство на $\sqrt{\langle x,x \rangle}$, потом немного попреобразовывать --- думаю, получится вывести, что $\alpha(x,y) = o(\|y\|)$.

-- 17.12.2015, 10:53 --

А с ТеХом: после слов "иначе пойти" двойные доллары поставьте, он будет обрабатывать формулу как выключную (в отдельной строке).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение17.12.2015, 14:49 
Аватара пользователя


25/02/11
234
popolznev следуя Вашему совету получил, используя нер-во Коши-Буняковского, такую оценку:
$$|\alpha (x,y)|\leq \frac{2{\rVert x \lVert}^{2}{\rVert y \lVert}^{2}}{\rVert x \lVert\rVert x+y \lVert+(x,x+y)}\Rightarrow \alpha (x,y)=o(\rVert y \lVert).$$
Вроде не ошибся.

-- Чт дек 17, 2015 16:58:30 --

popolznev в сообщении #1082916 писал(а):

-- 17.12.2015, 10:53 --

А с ТеХом: после слов "иначе пойти" двойные доллары поставьте, он будет обрабатывать формулу как выключную (в отдельной строке).

Спасибо. Он центрировать опять пытается. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение17.12.2015, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
popolznev в сообщении #1082916 писал(а):
А с ТеХом: после слов "иначе пойти" двойные доллары поставьте, он будет обрабатывать формулу как выключную (в отдельной строке).

Тогда формула просто не поместится целиком.
Слишком длинные цепочки надо разрывать на части вручную. Можно просто записать несколько последовательных строчек формул - в одинарных или в двойных долларах - это проще всего для начинающих. Можно использовать окружения, например, align / aligned, gather / gathered, array и т. п. - это для красоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение17.12.2015, 15:50 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Munin, спасибо за совет. Остановлюсь на варианте
Munin в сообщении #1082974 писал(а):
Можно просто записать несколько последовательных строчек формул - в одинарных или в двойных формулах - это проще всего для начинающих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение18.12.2015, 01:16 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Munin в сообщении #1082974 писал(а):
Тогда формула просто не поместится целиком.
Да, я просто не врубился, что проблема-то именно в этом.

-- 18.12.2015, 01:17 --

1r0pb в сообщении #1082965 писал(а):
Вроде не ошибся.
Ага.
1r0pb в сообщении #1082965 писал(а):
Спасибо. Он центрировать опять пытается. )
Да, выключные формулы центрирует. Так это ж хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение18.12.2015, 05:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В принципе, можно заставить местный LaTeX написать выключную формулу, и не центрировать её. Два варианта: либо сразу после одиночного доллара написать \displaystyle; либо вообще не писать долларов, а окружить формулу в [ math ] \[ \] [ /math ]. Дело в том, что скобки \[ \] эквивалентны двойным долларам для LaTeX, но не для форумного движка, который ищет и распознаёт только двойные доллары, чтобы их центрировать средствами HTML. Так же можно использовать и "бездолларовые" окружения, типа equation.

-- 18.12.2015 05:02:39 --

P. S. Ну и для красоты, даже если вы не центрируете формулу, её можно заключить в тег [ list ] [ /list ], чтобы она печаталась с отступом от края.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение18.12.2015, 12:37 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Munin еще раз спасибо. Буду варьировать.
А вот как показать отсутствие дифференцируемости в нуле? То есть показать, что
$$\rVert y \lVert-(a,y)\not =o(\rVert y \lVert).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение18.12.2015, 17:22 
Аватара пользователя


14/10/13
339
1r0pb в сообщении #1083209 писал(а):
Munin еще раз спасибо. Буду варьировать.
А вот как показать отсутствие дифференцируемости в нуле? То есть показать, что
$$\rVert y \lVert-(a,y)\not =o(\rVert y \lVert).$$
А что это за $(a,y)$? Приращение функции равно
$$\|0+y\|-\|0\| = \|y\|.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение18.12.2015, 20:39 
Аватара пользователя


25/02/11
234
popolznev, ну ведь $(a,y)$ есть предполагаемое $(\triangledown \rVert x \lVert,y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение18.12.2015, 21:10 
Аватара пользователя


14/10/13
339
А, в этом смысле! Я не понял сразу. Ну вот да, надо показать, что ни при каком $a$ не получится, что $\|y\|=(a,y)+o(\|y\|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение19.12.2015, 14:55 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Предположим дифференцируемость в нуле. Возьмем $y=\rVert \varepsilon \lVert (1,1,...,1)$. Откуда
$$\rVert \varepsilon \lVert \sqrt{n}=\rVert \varepsilon \lVert (a,1)+o(\rVert \varepsilon \lVert \sqrt{n})\Rightarrow 1=\frac{1}{\sqrt{n}}(a,1)+o(1).$$
Т.е. $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\sqrt{n}}=1+o{(1)}$, которое представимо неоднозначно, что противоречит дифференцируемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение19.12.2015, 17:28 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Стоп, здесь как-то всё не то.

Во-1, если у вас $\varepsilon$ --- одномерный параметр, который будет стремиться к нулю, то зачем окружать его знаком нормы?

Во-2, равенство $(a_1+\ldots+a_n)/\sqrt{n} = 1 + o(1)$ как раз может спокойно выполняться.

Сузить функционал на прямую, то есть рассматривать приращения вида $\varepsilon \cdot h$, Где $h$ --- постоянный вектор, вполне можно. Одномерный модуль получится. Надо только культурно записать, почему модуль не дифференцируем в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение19.12.2015, 21:25 
Аватара пользователя


25/02/11
234
popolznev, да, норму по ошибке написал. Равенство, конечно, может выполняться, но ведь это представление не единственное?
Тогда, возможно, так:
$$\lim_{h>0,\ \varepsilon \rightarrow 0+}\frac{|0+\varepsilon h|-|0|}{\varepsilon h}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\frac{|\varepsilon |h}{\varepsilon h}=+1,$$
$$\lim_{h>0,\ \varepsilon \rightarrow 0-}\frac{|0+\varepsilon h|-|0|}{\varepsilon h}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\frac{|\varepsilon |h}{\varepsilon h}=-1.$$
Ну вывод понятен в таком случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование скалярных функций (1.1.1)
Сообщение19.12.2015, 23:04 
Аватара пользователя


14/10/13
339
1r0pb
Неединственность там ни при чем. Для конкретного направления приращения единственности и не будет (кроме одномерного случая).

Насчет ваших выкладок: идея, опять же, ясна, но определение производной-то у нас не такое. И вы как будто на вектор делите (это, конечно, не имеет смысла).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group