Угол поворота

[semenyuk.gosha]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с задачей
Дана матрица поворота

$$M = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$$

Ось поворота $e_1 = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix}$
Найти косинус и синус угла поворота.

Я решаю так
1) Беру ортогональный к оси вектор $e_2 = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

2) Ищу 3 вектор как векторное произведение $e_3 = e_1 \times e_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} $

3) Рассматриваю вектор $e_4 = e_2 + e_3 = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} $
Он ортогонален оси

4) Умножаю матрицу поворота на ортогональный оси вектор ($e_4$), получаю новый вектор ($e_5$), который тоже ортогонален оси и раскладываю его по 2 предыдущим

$e_5 = M \cdot e_4 = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} & \frac{-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6} & \frac{3\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{12} \end{pmatrix} = ( \frac{-9-7\sqrt{3}}{12})e_2 + (\frac{-3+\sqrt{3}}{4})e_3$

5) Далее решаю систему
$\begin{pmatrix} \frac{-9-7\sqrt{3}}{12} \\ \frac{-3+\sqrt{3}}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos y & -\sin y \\ \cos y & \sin y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $

Получаю $\cos y = \frac{-9-2\sqrt{3}}{12} $

А должен быть равен $3/4$. Что я делаю неверно?

[slavav]

Вы определяете угол поворота как угол между двумя векторами? Что это за вектора?

[Brukvalub]

А что это такое: "угол поворота"?

[provincialka]

Зачем так много векторов? Они что, по разному "вращаются"?

[semenyuk.gosha]

slavav в сообщении #1082687 писал(а):

Вы определяете угол поворота как угол между двумя векторами? Что это за вектора?

Для любого вектора $x$, $Mx$ - его поворот относительно оси. Соответственно угол поворота - угол между $x$ и $Mx$

provincialka в сообщении #1082694 писал(а):

Зачем так много векторов? Они что, по разному "вращаются"?

Для начала нужно найти базис - это первые 3 вектора $e_1 e_2 e_3$. Далее беру какой-то любой вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси. (я взял $e_4 = e_2+e_3$). Умножаю его на матрицу поворота, полученный вектор лежит в той же плоскости и его можно разложить по $e_2$ и $e_3$.
А матрица

$$\begin{pmatrix} \cos y & -\sin y\\ \sin y & \cos y \end{pmatrix}$$

- это матрица поворота в плоскости. С помощью нее я и пытаюсь найти угол $y$ между векторами $e_4$ и $Me_4$

[slavav]

semenyuk.gosha в сообщении #1082713 писал(а):

slavav в сообщении #1082687 писал(а):

Вы определяете угол поворота как угол между двумя векторами? Что это за вектора?

Для любого вектора $x$, $Mx$ - его поворот относительно оси. Соответственно угол поворота - угол между $x$ и $Mx$

В конце вы измеряете не угол между $e_5$ и $e_4$, а другой угол.

-- 16.12.2015, 18:50 --

И ещё: помните ли вы как вычислить косинус угла между двумя векторами единичной длины?

[Brukvalub]

semenyuk.gosha в сообщении #1082713 писал(а):

Для любого вектора $x$, $Mx$ - его поворот относительно оси. Соответственно угол поворота - угол между $x$ и $Mx$

Странное определение. Если принять такое определение угла поворота, то он будет разным для разных векторов. Например, вектор, направленный вдоль оси поворота и его образ после поворота будут образовывать нулевой угол...

[slavav]

semenyuk.gosha в сообщении #1082713 писал(а):

$$\begin{pmatrix} \cos y & -\sin y\\ \cos y & \sin y \end{pmatrix}$$

- это матрица поворота в плоскости.

Вы ошиблись, это не матрица поворота. Например подставьте в эту матрицу нулевой угол. Результатом должна быть единичная матрица.
Кроме того восстанавливать матрицу и не нужно.

-- 16.12.2015, 18:59 --

Brukvalub в сообщении #1082719 писал(а):

semenyuk.gosha в сообщении #1082713 писал(а):

Для любого вектора $x$, $Mx$ - его поворот относительно оси. Соответственно угол поворота - угол между $x$ и $Mx$

Странное определение. Если принять такое определение угла поворота, то он будет разным для разных векторов. Например, вектор, направленный вдоль оси поворота и его образ после поворота будут образовывать нулевой угол...

Я принужден стать на защиту ТС. Хотя он неправильно определил что такое угол поворота, но целится в нужную сторону.
В решении много лишних шагов, но ошибка только в пятом пункте.

[Brukvalub]

slavav в сообщении #1082721 писал(а):

Хотя он неправильно определил что такое угол поворота, но целится в нужную сторону.

(Оффтоп)

Прямо как в песне: "Пусть Жираф был не прав, - Но виновен не Жираф, А тот, кто крикнул из ветвей: "Жираф большой - ему видней!"

Вы, slavav, конечно, можете и дальше заниматься правозащитной деятельностью, но какой в этом смысл, если обвиняемый "решает" задачу, не понимая даже определений упоминаемых в задаче понятий? Какой-то мартышкин труд получается...

[semenyuk.gosha]

Ошибся при наборе матрицы поворота, вот так верно

$$\begin{pmatrix} \cos y & -\sin y\\ \sin y & \cos y \end{pmatrix}$$

slavav в сообщении #1082715 писал(а):

помните ли вы как вычислить косинус угла между двумя векторами единичной длины?

Например, с помощью скалярного произведения.

$$e_4 e_5 = \frac{-18-4 \sqrt{3}}{12}$$

$$ \cos y = \frac{e_4 e_5}{\left\lvert e_5 \right\rvert \left\lvert e_4 \right\rvert}=\frac{29-9 \sqrt{3}}{26 \sqrt{2}}$$

[slavav]

Угол вы вычисляете правильно. К сожалению, у вас ошибка ещё и в третьем пункте. Вектор $e_3$ не ортогонален к $e_1$.

Ответьте, пожалуйста, на вопрос Brukvalub - что такое угол поворота для матрицы?

[semenyuk.gosha]

slavav в сообщении #1082773 писал(а):

Вектор $e_3$ не ортогонален к $e_1$.

Как так? $e_3 e_1=\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{2}{\sqrt{6}} = 0$

slavav в сообщении #1082773 писал(а):

угол поворота для матрицы

Мы поворачиваем 3-х мерное пространство вокруг оси (которая является собственным вектором матрицы поворота). И угол поворота - это угол между старыми и новыми базисными векторами. Так?

[Brukvalub]

semenyuk.gosha в сообщении #1082817 писал(а):

Мы поворачиваем 3-х мерное пространство вокруг оси (которая является собственным вектором матрицы поворота). И угол поворота - это угол между старыми и новыми базисными векторами. Так?

Нет, не так. Это не определение преобразования поворота и угла поворота, а болтовня на дошкольном уровне.

[arseniiv]

semenyuk.gosha
Что мешает одному из базисных векторов быть собственным? (И зачем же именно базисных?) Тогда и его образ при повороте будет им же, и угол будет нулевым, даже если какой-то другой вектор всё-таки переходит не в себя. Угол поворота и угол между вектором и его образом будут совпадать (ну почти) для векторов, лежащих кое-где. Где? И почему я написал «ну почти»?

[semenyuk.gosha]

arseniiv в сообщении #1082826 писал(а):

векторов, лежащих кое-где

В плоскости, ортогональной оси поворота. Верно?