Помогите, задача по теории вероятности

[Профессор Снэйп]

Henrylee писал(а):

Только задача решена еще не до конца. $41/81$ - это еще не искомая вероятность.
Где же наш отличник? (virys555)

$41/81$ --- это вероятность того, что четвёртый человек произнёс то же слово, которое услышал первый. Соответственно $1-41/81=40/81$ --- это вероятность того, что четвертый человек произнёс другое слово, отличное от услышанного первым.

Раз четвёртый человек сказал "да", то с вероятностью $41/81$ первый человек услышал "да" и с вероятностью $40/81$ услышал "нет". А вероятность того, что первый человек произнёс "да" (насколько я понимаю, именно это требуется найти в задаче) равна

$$ \frac{41}{81} \cdot \frac{1}{3} + \frac{40}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{121}{243} $$

Но с другой стороны, вероятность того, что первй человек сказал "да" --- это вероятность того, что второй человек услышал "да". А поскольку

$$ \left( \begin{array}{cc} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{array} \right)^3 = \left( \begin{array}{cc} 13/27 & 14/27 \\ 14/27 & 13/27 \end{array} \right) $$

то искомая вероятность равна $13/27$.

Однако $13/27 \neq 121/243$. И какой из ответов тогда правильный? Что-то я запутался

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

А с третьей стороны раз "да" --- правильный ответ, то первый человек его услышал. И вероятность того, что он сказал "да", просто равна $1/3$ без всяких там хитроумных подсчётов. Ну дела...

Надо будет всё это завтра обмыслить с утра да на трезвую голову. Рассол, слава Богу, в холодильнике ещё остался.

[Архипов]

Полагаю, ответ к задаче - 2/3. То есть первый правдив оказывается с вероятностью, которая задана для лживости каждого из 4х .

В 4 случаях прервый говорит "нет", а последний говорит "да".
Еще в 4 случаях прервый говорит "да" и последний говорит "да".
Сумма вероятностей "нет-да" отностится к сумме вероятностей "да-да" как 1/2, тогда ответ: в 2х случаях из 3 первый говорил правду ( на самом деле просто это были случайные совпадения "да" первого и "да" последнего.).

[virys555]

А что вы скажете на это:

Пусть A, B - события, состоящие в том, что первый сказал правду и неправду. Вычислим вероятность события C , состоящего в том, что четвертый сказал правду:
$ P(C) = P(A) P(C|A) + P(B) P(C|B) $.
Так как
$ P(A) = \frac{1}{3}, \quad P(B) = \frac{2}{3} $,
то нужно найти
$ P(C|A) и P(C|B) $.
Если первый сказал "да", то четвертый скажет "да" только в том случае, если либо 2, 3, 4 сказали правду, либо два из них сказали неправду, т.е.
$P(C|A) = \left( \frac{1}{3} \right)^3 + {3 \choose 2} \left( \frac{2}{3} \right)^2 \frac{1}{3} = \frac{13}{27} $.
Аналогично рассуждая, получим
$ P(C|B) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + {3 \choose 2} \left( \frac{1}{3} \right)^2 \frac{2}{3} = \frac{14}{27} $.
Тогда
$ P(C) = \frac{41}{81}$.

Нам нужно найти вероятность того, что первый сказал правду при условии, что четвертый сказал правду, то есть
P(A|C).
По формуле Байеса
$ P(A|C) = \frac{P(A) P(C|A)}{P(C)} = \frac{13}{41}. $

Как вы думаете это решение верное?

[Henrylee]

virys555 писал(а):

Как вы думаете это решение верное?

Я считаю Ваше решение верным.

Добавлено спустя 6 минут 31 секунду:

Профессор Снэйп писал(а):

$41/81$ --- это вероятность того, что четвёртый человек произнёс то же слово, которое услышал первый.

Нет-нет. Заметьте, что 41/81 - переходная вероятность марковской цепи за 4 шага, а то, что Вы написали далее - за 3 шага, которая равна 13/27. 41/81 это вероятность, что четвертый сказал "да". Или, что то же самое, условная вероятность, что 4-й сказал "да" при условии, что "да" сказал некий "нулевой" персонаж, которого мы можем ввести в задачу, который никогда не лжет, т.е. с вероятностью 1 говорит "да".

[virys555]

Ну дак мое решение все-таки верное? или нет?

ну ни чего завтра узнаю)

[bot]

А куды всех понесло?

Профессор Снэйп писал(а):

$41/81$ --- это вероятность того, что четвёртый человек произнёс то же слово, которое услышал первый.

Так и есть. А теперь мы имеем чёрный ящик из которого вышел 0, а требуется определить с какой вероятностью на входе был тоже 0.
Вот все случаи: на входе 0 - 41 возможность (остальные 40 дают на выходе 1), на входе 1 - 40 возможностей. Все возможности равновероятны - в марковсой цепи передачу без искажения рисуем одной стрелкой, а искажение - двумя. Итого 81 равновероятных цепочек, из которых 41 цепочка благоприятна.

Добавлено спустя 3 минуты 27 секунд:

А куб здесь не причём - передач информации было 4, а первый получил неважно от кого - пусть нулевого.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

А теперь мы имеем чёрный ящик из которого вышел 0, а требуется определить с какой вероятностью на входе был тоже 0.

...

А куб здесь не причём - передач информации было 4, а первый получил неважно от кого - пусть нулевого.

Э-э-э... Почитайте внимательно условие.

virys555 писал(а):

Задача:
Из четырех человек первый получил информацию "да" или "нет", которую он сообщает второму, второй - третьему, третий - четвертому, а последний обьевляет результат. Известно, что каждый говорит правду в одном случае из трех. Какова вероятность, что первый человек сказал правду, если результат информации правельный ("да").

Выделение моё.

[bot]

virys555 писал(а):

Какова вероятность, что первый человек сказал правду

А-а-а, вернулся и перечитал - это же совсем не та задача, которую себе представлял.

[virys555]

Вот я загрузил вас задачей)))

А я еще на 1 курсе и мне такие задачи задают(
Хотя мы теорию вероятности только 15 часов изучаем)))

[Архипов]

virys555 писал(а):

А что вы скажете на это:

Нам нужно найти вероятность того, что первый сказал правду при условии, что четвертый сказал правду, то есть
P(A|C).
По формуле Байеса
$ P(A|C) = \frac{P(A) P(C|A)}{P(C)} = \frac{13}{41}. $

Как вы думаете это решение верное?

Если задать вероятность правдивости для каждого 1/2, то ответ к задаче долженн быть тоже 1/2. Можно проверить таким образом правильность решения.

[bot]

bot писал(а):

А-а-а, вернулся и перечитал - это же совсем не та задача, которую себе представлял.

Теперь понимаю её так: какова вероятность, что второй участник получил на входе 0, если известно, что на выходе после 4-го тоже 0. Тогда просто куб и ответ 13/27, а вероятность лживости первого дана просто для запудривания мозгов.
А иначе, как и профессор Снэйп, я не понимаю смысла вопроса, сказано ведь, что первый не врёт с вероятностью 1/3, вот с этой вероятностью он и не соврал, а дальнейшая информация здесь совсем не причём.
Дьявол шепчет ещё и такое вычисление: $\frac{13}{13+14+14}=\frac{13}{41}$, но я не могу придумать для этого правильного вопроса.

[virys555]

чет я непонял вас, вероятность правды: в одном случае из трех.

[bot]

У-п-с, а он уже был.

[virys555]

Ну и замутили вы тут, я уже чет совсем непонимаю ничего(

[Henrylee]

Наверняка все, как и я, получили в личку ссылку, демонстрирующую, что автор темы в отличии от персонажей задачи умеет врать с вероятностью 1.

Добавлено спустя 5 минут 40 секунд:

bot писал(а):

Теперь понимаю её так: какова вероятность, что второй участник получил на входе 0, если известно, что на выходе после 4-го тоже 0. Тогда просто куб и ответ 13/27

Наоборот, 13/27 это вероятность, что "на выходе после 4-го тоже 0" при условии, что "второй участник получил на входе 0" (то есть как раз "куб", переходная вероятность за 3 шага), а искали мы именно то, что Вы написали:

bot писал(а):

какова вероятность, что второй участник получил на входе 0, если известно, что на выходе после 4-го тоже 0

то есть условную вероятность "наоборот".

Добавлено спустя 6 минут 12 секунд:

bot писал(а):

А иначе, как и профессор Снэйп, я не понимаю смысла вопроса, сказано ведь, что первый не врёт с вероятностью 1/3, вот с этой вероятностью он и не соврал, а дальнейшая информация здесь совсем не причём.

Очень даже причем. 1/3 - априорная вероятность правды, а мы ищем апостериорную, т.е., имея дополнительную информацию, которая первоначальную вероятность меняет.